[論文レビュー] Descent and C^0-rigidity of spectral invariants on monotone symplectic manifolds

Sobhan Seyfaddini|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、単調なシンプレクティック多様体上のスペクトル不変量について、$C^0$-剛性推定を確立し、2つのコンパクトに台を持つハミルトニアンのスペクトル不変量の差が、その時間1写像間の$C^0$-距離に線形に依存し、さらに単調性定数$\lambda$を含む位相的補正項を持つことを示している。主な結果は、$\lambda > 0$のとき、スペクトル不変量がコンパクトに台を持つハミルトニアン群の普遍被覆からその群自体へと「降下」することであり、ホーファー幾何学およびホーファー距離の$C^0$-連続性への応用を伴う。

ABSTRACT

We obtain estimates showing that on monotone symplectic manifolds (asymptotic) spectral invariants of Hamiltonians which vanish on a non-empty open set, U, descend to Ham_c(M\setminus U) from its universal cover. Furthermore, we show these invariants and are continuous with respect to the C^0-topology on Ham_c(M\setminus U). We apply these results to Hofer geometry and establish unboundedness of the Hofer diameter of $Ham_c(M\setminus U)$ for stably displaceable $U$. We also answer a question of F. Le Roux about $C^0$-continuity properties of the Hofer metric.

研究の動機と目的

• 時間1ハミルトニアン微分同相写像間の$C^0$-距離にのみ依存する、スペクトル不変量の$C^0$-剛性推定を確立すること。
• 単調なシンプレクティック多様体上での$\widetilde{Ham_c}(M\setminus U)$から$Ham_c(M\setminus U)$へのスペクトル不変量の降下が成り立つかどうかを解明すること。
• 得られた結果をホーファー幾何学に応用し、$U$が安定的にずらせる開集合であるとき、$Ham_c(M\setminus U)$のホーファー径が非有界であることを証明すること。
• F. Le Rouxが提起したホーファー距離の$C^0$-連続性に関する問題に答え、任意の$A>0$に対して集合$\mathcal{E}_A(M\setminus U)$が非空な$C^0$-内部を持つことを示すこと。

提案手法

• 閉じた単調なシンプレクティック多様体上で、シュバルツとオーアによって構成されたハミルトニアンフロー homology を用いて定義されるスペクトル不変量を用いる。ここで、$[\omega]|_{\pi_2} = \lambda c_1|_{\pi_2}$ が成り立つ。
• 時間1写像間の$C^0$-距離を制御できるように、非空な開集合$U$の外で定義されるハミルトニアンに対して$\delta$-正則化手続きを適用する。
• $M \setminus U$における$\epsilon$-シフトの議論を用いて、時間1写像の$C^0$-距離とスペクトル不変量を関連付ける。
• 重要な不等式を確立する：$|c(a,G) - c(a,H)| \leq C \cdot d_{C^0}(\phi^1_G, \phi^1_H) + n \max(0, \lambda)$、ここで$C$は$U$に依存する。
• コンパクトなシンプレクティック多様体に境界がある場合、円筒的端子構成により開シンプレクティック多様体に埋め込むことで、結果を拡張する。
• 拡張された多様体$\hat{X} = X \cup_{\partial X} \partial X \times [0,\infty)$上の適切なハミルトニアンの理論を用いて、一貫性のあるスペクトル不変量を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調なシンプレクティック多様体上では、時間1ハミルトニアン微分同相写像間の$C^0$-距離が、パスに依存しないスペクトル不変量の差を制御できるか。
• RQ2 $\widetilde{Ham_c}(M\setminus U)$上のスペクトル不変量が、どのような条件下で$Ham_c(M\setminus U)$へと降下するか。
• RQ3 $U$が安定的にずらせるとき、$Ham_c(M\setminus U)$のホーファー径は非有界か。
• RQ4 F. Le Rouxの質問に答え、任意の$A>0$に対して集合$\mathcal{E}_A(M\setminus U)$が非空な$C^0$-内部を持つか。

主な発見

• 本稿は、$|c(a,G) - c(a,H)| \leq C \cdot d_{C^0}(\phi^1_G, \phi^1_H) + n \max(0, \lambda)$という$C^0$-剛性推定を確立した。ここで$C$は開集合$U$に依存し、$M \setminus U$に台を持つハミルトニアンに対して成り立つ。
• 単調なシンプレクティック多様体上で$\lambda > 0$のとき、スペクトル不変量は$\widetilde{Ham_c}(M\setminus U)$から$Ham_c(M\setminus U)$へと降下する。これは位相的補正項のおかげである。
• $U$が安定的にずらせるとき、$Ham_c(M\setminus U)$のホーファー径は非有界である。なぜなら、スペクトル不変量を任意に大きくできるからである。
• 任意の$A > 0$に対して、集合$\mathcal{E}_A(M\setminus U)$は非空な$C^0$-内部を持つ。これはF. Le Rouxのホーファー距離の$C^0$-連続性に関する質問に肯定的に答えている。
• 境界を持つコンパクトなシンプレクティック多様体に対しても、単調性の下で結果を拡張でき、スペクトル不変量は$|c(a,G) - c(a,H)| \leq C \cdot d_{C^0}(\phi^1_G, \phi^1_H) + n\lambda$を満たす。
• $\hat{X} = X \cup_{\partial X} \partial X \times [0,\infty)$上の適切なハミルトニアンによるスペクトル不変量の構成は、一貫性を保証し、境界付き多様体への主結果の拡張を可能にする。