[論文レビュー] Description of coupling in the category of transitive Lie algebroids

Li XiaoYu, Mishchenko, Alexander S.|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、固定された有限次元リー代数 $\mathfrak{g}$ をファイバーとするトランスティヴなリー代数群のすべての結合の集合と、群 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ を構造群とする局所的に自明な構造の同値類の集合の間の一対一対応を確立する。この対応により、トランスティヴなリー代数群の分類空間の幾何的構成が可能となり、それらの特徴類の圏論的記述が明確化される。

ABSTRACT

In our previous paper (arXiv:1306.5449) we have given a sufficient and necessary condition when the coupling between Lie algebra bundle (LAB) and the tangent bundle exists in the sense of Mackenzie (\cite{Mck-2005}, Definition 7.2.2) for the theory of transitive Lie algebroids. Namely we have defined a new topology on the group $\Aut( g)$ of all automorphisms of the Lie algebra $ g$, say $\Aut( g)^δ$, and show that tangent bundle $TM$ can be coupled with the Lie algebra bundle $L$ if and only if the Lie algebra bundle L admits a local trivial structure with structural group endowed with such new topology. But the question how many couplings exist under these conditions still remains open. Here we make the result more accurate and prove that there is a one-to-one correspondence between the family $Coup(L)$ of all coupling of the Lie algebra bundle $L$ with fixed finite dimensional Lie algebra $ g$ as the fiber and the structural group $\Aut( g)$ of all automorphisms of Lie algebra $ g$ and the tangent bundle $TM$ and the family $LAB^δ(L)$ of equivalent classes of local trivial structures with structural group $\Aut( g)$ endowed with new topology $\Aut( g)^δ$. This result gives a way for geometric construction of the classifying space for transitive Lie algebroids with fixed structural finite dimensiaonal Lie algebra $ g$. Hence we can clarify a categorical description of the characteristic classes for transitive Lie algebroids and a comparison with that by J. Kubarski.

研究の動機と目的

• 先行研究で確立された条件下で、リー代数バンドルと接接バンドルの間の結合がいくつ存在するかという未解決の問いを解消すること。
• 固定された有限次元リー代数 $\mathfrak{g}$ をファイバーとするトランスティヴなリー代数群の分類空間を幾何的に実現すること。
• リー代数 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ におけるトポロジーと関連づけることにより、トランスティヴなリー代数群の特徴類の圏論的記述を明確化すること。
• 線形接続（随伴を除く）と、構造群に新しいトポロジーを導入した局所的に自明な構造との間の明確な対応を確立すること。

提案手法

• 有限次元リー代数 $\mathfrak{g}$ の自己同型群に標準的トポロジーを強化した新しいトポロジー $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ を定義する。
• 各結合（随伴を除く接続）に、経路に沿った平行移動を用いて構造群 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ を持つ局所的に自明な構造を割り当てる写像 $f: \mathrm{Coup}(L) \to \mathrm{LAB}^\delta(L)$ を構成する。
• 局所自明化と分区関数を用いて、自明化から接続を構成する逆写像 $g: \mathrm{LAB}^\delta(L) \to \mathrm{Coup}(L)$ を定義する。
• $f$ と $g$ が適切に定義されており、互いに逆写像であることを証明し、両者の族の間の全単射を確立する。
• この全単射を用いて、ファイバーが $\mathfrak{g}$ であるトランスティヴなリー代数群の分類空間 $\mathcal{B}_\mathfrak{g}$ が $\mathrm{LAB}^\delta(L)$ を通じて幾何的に実現可能であることを示す。
• この対応を活用し、J. Kubarski の先行研究と比較して、特徴類の分類的記述を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数バンドル $L$ と接接バンドル $TM$ の間に結合が存在する条件は何か？
• RQ2 結合が存在する場合、$L$ と $TM$ の間に存在する異なる結合はいくつあるか？
• RQ3 リー代数バンドル $L$ における結合と、構造群 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ を持つ局所的に自明な構造との間の正確な関係は何か？
• RQ4 固定されたファイバー $\mathfrak{g}$ を持つトランスティヴなリー代数群の分類空間を、この対応を通じて幾何的に構成できるか？
• RQ5 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ の新しいトポロジーが特徴類の分類に与える影響は何か？

主な発見

• ファイバーが $\mathfrak{g}$ であるリー代数バンドル $L$ のすべての結合の族 $\mathrm{Coup}(L)$ と、構造群 $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ を持つ $L$ 上の局所的に自明な構造の同値類の族 $\mathrm{LAB}^\delta(L)$ の間には一対一対応が存在する。
• $f: \mathrm{Coup}(L) \to \mathrm{LAB}^\delta(L)$ は平行移動を用いて定義された写像であり、適切に定義された全単射である。
• $g: \mathrm{LAB}^\delta(L) \to \mathrm{Coup}(L)$ は、分区関数と局所自明化を用いて構成される逆写像であり、自明化や分区関数の選択に依存しない。
• この対応により、ファイバーが $\mathfrak{g}$ であるトランスティヴなリー代数群の分類空間 $\mathcal{B}_\mathfrak{g}$ が、$\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ 構造の分類空間として幾何的に実現可能であることが示唆される。
• この対応を通じて、トランスティヴなリー代数群の特徴類は圏論的に記述可能となり、Kubarski の先行研究と比較可能になる。
• 新しいトポロジー $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})^\delta$ は、この対応にとって不可欠であり、標準的トポロジーでは同様の分類が得られない。