[論文レビュー] Determination of a Type of Permutation Trinomials over Finite Fields

Xiang‐dong Hou|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限体 $ \mathbb{F}_q $ 上の三項式 $ f = a x + b x^q + x^{2q-1} $ が $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上で置換多項式であるための明示的な必要十分条件を、奇数および偶数の $ q $ に分けて決定する。主な貢献は、このような置換三項式の完全な分類であり、$ \mathbb{F}_q $ 上の和を含む関数方程式によって定義される多項式 $ g_{n,q} $ の置換性に関する関連問題を解決することにある。

ABSTRACT

Let $f=a{ t x} +b{ t x}^q+{ t x}^{2q-1}\in\Bbb F_q[{ t x}]$. We find explicit conditions on $a$ and $b$ that are necessary and sufficient for $f$ to be a permutation polynomial of $\Bbb F_{q^2}$. This result allows us to solve a related problem. Let $g_{n,q}\in\Bbb F_p[{ t x}]$ ($n\ge 0$, $p= ext{char}\,\Bbb F_q$) be the polynomial defined by the functional equation $\sum_{c\in\Bbb F_q}({ t x}+c)^n=g_{n,q}({ t x}^q-{ t x})$. We determine all $n$ of the form $n=q^α-q^β-1$, $α>β\ge 0$, for which $g_{n,q}$ is a permutation polynomial of $\Bbb F_{q^2}$.

研究の動機と目的

• $ q $ を素数べきとするとき、$ f = a x + b x^q + x^{2q-1} $ が $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上で置換多項式であるための必要十分条件を特定すること。
• 関数方程式 $ \sum_{c \in \mathbb{F}_q} (x + c)^n = g_{n,q}(x^q - x) $ を用いて定義される多項式 $ g_{n,q} $ の置換性に関する関連未解決問題を解決すること。
• $ \alpha > \beta \geq 0 $ を満たす整数 $ n = q^\alpha - q^\beta - 1 $ について、$ g_{n,q} $ が $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上で置換多項式であるようなものを同定すること。
• $ \mathbb{F}_{q^2} $ 内で方程式 $ a x + b x^q + x^{2q-1} = y $ の解の一意性を示すための新しい手法を提供すること。代数的恒等式とトレース条件を活用する。
• $ f $ の置換性と $ g_{n,q} $ の構造との間の関係を確立すること。特に $ n = q^\alpha - q^\beta - 1 $ の場合に注目する。

提案手法

• 奇数の $ q $ に対しては、判別式解析と代入技術を用いて、$ a, b \in \mathbb{F}_q^* $ が $ f = a x + b x^q + x^{2q-1} $ が $ \mathbb{F}_{q^2} $ を置換するための条件を導出する。
• 偶数の $ q $ に対しては、トレース条件 $ \operatorname{Tr}_{q/2}(1/(a+1)) = 0 $ と $ \operatorname{Tr}_{q/2}(1/b) = 0 $ を用い、$ d \in \mathbb{F}_q \setminus \mathbb{F}_2 $ をパラメータとする有理関数で解を表現する。
• 生成関数とローレンツ級数における定数項抽出を用いて、素数 $ p $ を法とする二項係数を含む複雑な和を評価する。
• 恒等式 $ \sum_{l} \binom{l+2}{2} \binom{-l}{l} z^l $、$ \sum_{l} (l+1) \binom{-l}{l} z^l $ および類似式を用い、$ g_{n,q} $ の関数方程式を簡略化する。
• $ x^{q^2} - x $ を法として、可逆な変数変換により $ g_{n,q} $ を $ A x + B x^q + C x^{2q-1} $ の形に変形し、問題を定理Aに還元する。
• 既知の置換多項式および射影幾何学の結果を活用し、$ \mathbb{F}_{q^2} $ 上で $ a x + b x^q + c x^{2q-1} $ が置換多項式であるような射影三元組 $ [a:b:c] $ の集合 $ \mathcal{X} $ を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数の $ q $ に対して、$ a, b \in \mathbb{F}_q $ がどのような値をとるとき、三項式 $ f = a x + b x^q + x^{2q-1} $ は $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上で置換多項式となるか？
• RQ2 偶数の $ q $ に対して、$ f = a x + b x^q + x^{2q-1} $ が $ \mathbb{F}_{q^2} $ を置換するための $ a, b \in \mathbb{F}_q $ の必要十分条件は何か？
• RQ3 整数 $ n = q^\alpha - q^\beta - 1 $（$ \alpha > \beta \geq 0 $）について、$ g_{n,q} $ が $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上で置換多項式となるのはどのような場合か？
• RQ4 関数方程式 $ \sum_{c \in \mathbb{F}_q} (x + c)^n = g_{n,q}(x^q - x) $ を用いて、置換多項式 $ g_{n,q} $ をどのように特徴付けることができるか？
• RQ5 置換三項式 $ a x + b x^q + c x^{2q-1} $ をパラメータ化する集合 $ \mathcal{X} \subset \text{PG}(2, \mathbb{F}_q) $ の幾何的構造は何か？

主な発見

• 奇数の $ q $ に対して、$ f = a x + b x^q + x^{2q-1} $ が $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上で置換多項式であるのは、以下の4つの条件のいずれかが成り立つ場合に限る：(i) $ a(a-1) $ が平方かつ $ b^2 = a^2 + 3a $；(ii) $ a = 1 $ かつ $ b^2 - 4 $ が平方；(iii) $ a = 3, b = 0, q \equiv -1 \pmod{6} $；(iv) $ a = b = 0, q \equiv 1,3 \pmod{6} $。
• 偶数の $ q > 2 $ に対して、$ f $ が $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上で置換多項式であるのは、以下のいずれかの条件が成り立つ場合に限る：(i) $ a \neq 1 $、$ \operatorname{Tr}_{q/2}(1/(a+1)) = 0 $、かつ $ b^2 = a^2 + a $；または (ii) $ a = 1 $、$ b \neq 0 $、かつ $ \operatorname{Tr}_{q/2}(1/b) = 0 $。
• すべての $ n = q^\alpha - q^\beta - 1 $ について、$ g_{n,q} $ が $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上で置換多項式であるようなものは完全に特徴付けられている：偶数の $ q $ については定理Cで与えられ、奇数の $ q $ については変数変換により定理Aから導かれる。
• 偶数の $ q $ に対して、$ \mathbb{F}_{q^2} $ 上で置換多項式であるような射影三元組 $ [a:b:c] $ の集合 $ \mathcal{X} $ は、$ d \in \mathbb{F}_q \setminus \mathbb{F}_2 $ をパラメータとする4つの族の和集合として明示的に記述されている。
• ローレンツ級数展開における定数項の計算により、4次多項式の驚くべき因数分解が有理関数に現れ、重要な和の閉形式表現の導出を可能にする。
• 奇数の $ q > 2 $ に対して、恒等式 $ \sum_{l} \binom{l+2}{2} \binom{-l}{l+1} z^l = \frac{3z(1+2z)}{(1+4z)^2} $ が留数計算とトレースに基づく係数抽出を用いて確立され、主定理の証明に不可欠である。