[論文レビュー] Deterministic Algorithms for Decremental Approximate Shortest Paths: Faster and Simpler

Maximilian Probst Gutenberg, Christian Wulff‐Nilsen|Research at the University of Copenhagen (University of Copenhagen)|Jan 29, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、無向かつ無重みグラフにおける減少的$(1+\epsilon)$-近似単一始点最短経路問題に対して、決定的アルゴリズムを提示する。全更新時間は$O(mn^{0.5+o(1)})$を達成し、スパースおよび中程度に密集したグラフにおいて、先行する決定的境界を改善する。この手法は、新規の減少的カバーデータ構造、最適化されたヘビーライト分解、および新たなクラスタリング技術を組み合わせ、動的スパースエミュレータを維持することで、辺の削除下での高速かつ簡素な近似距離クエリを可能にする。

ABSTRACT

In the decremental $(1+ε)$-approximate Single-Source Shortest Path (SSSP) problem, we are given a graph $G=(V,E)$ with $n = |V|, m = |E|$, undergoing edge deletions, and a distinguished source $s \in V$, and we are asked to process edge deletions efficiently and answer queries for distance estimates $\widetilde{\mathbf{dist}}_G(s,v)$ for each $v \in V$, at any stage, such that $\mathbf{dist}_G(s,v) \leq \widetilde{\mathbf{dist}}_G(s,v) \leq (1+ ε)\mathbf{dist}_G(s,v)$. In the decremental $(1+ε)$-approximate All-Pairs Shortest Path (APSP) problem, we are asked to answer queries for distance estimates $\widetilde{\mathbf{dist}}_G(u,v)$ for every $u,v \in V$. In this article, we consider the problems for undirected, unweighted graphs. We present a new \emph{deterministic} algorithm for the decremental $(1+ε)$-approximate SSSP problem that takes total update time $O(mn^{0.5 + o(1)})$. Our algorithm improves on the currently best algorithm for dense graphs by Chechik and Bernstein [STOC 2016] with total update time $ ilde{O}(n^2)$ and the best existing algorithm for sparse graphs with running time $ ilde{O}(n^{1.25}\sqrt{m})$ [SODA 2017] whenever $m = O(n^{1.5 - o(1)})$. In order to obtain this new algorithm, we develop several new techniques including improved decremental cover data structures for graphs, a more efficient notion of the heavy/light decomposition framework introduced by Chechik and Bernstein and the first clustering technique to maintain a dynamic \emph{sparse} emulator in the deterministic setting. As a by-product, we also obtain a new simple deterministic algorithm for the decremental $(1+ε)$-approximate APSP problem with near-optimal total running time $ ilde{O}(mn /ε)$ matching the time complexity of the sophisticated but rather involved algorithm by Henzinger, Forster and Nanongkai [FOCS 2013].

研究の動機と目的

• 無向かつ無重みグラフにおける減少的$(1+\epsilon)$-近似単一始点最短経路問題に対して、より高速かつ簡素な決定的アルゴリズムの設計。
• スパースまたは中程度に密集したグラフを効率的に処理できない、あるいは更新時間がより高くなるという制限を抱える先行の決定的アルゴリズムの限界を克服すること。
• 決定的設定下で動的スパースエミュレータおよび減少的カバーを維持するための新技術の開発により、全更新時間の向上を実現すること。
• 特にスパースグラフ領域において、既存の確率的アルゴリズムと同等またはそれを上回る性能を達成する全更新時間の実現。
• 近似的な全点対最短経路を近似的に実行可能にする決定的アルゴリズムの基盤を提供すること。

提案手法

• アルゴリズムは、異なる距離スケールに対応する複数のほぼ-MES-木（$\mathcal{E}_j$）を維持し、それぞれがソースからの距離範囲を処理する。
• 効率的な更新と近似距離クエリをサポートする動的スパースエミュレータを維持するための新規クラスタリング技術を用いる。
• 更新コストを低減するため、軽量辺およびクラスタ数の上限を改善した、洗練されたヘビーライト分解フレームワークを採用する。
• 減少的カバーデータ構造を強化し、辺の削除時の頂点接続性の追跡と高速な更新を効果的にサポートする。
• 複数の木からの推定値を統合し、$\epsilon$の調整と$(1-\epsilon)$による除算を用いるスケーリング技術により、$(1+\epsilon)$-近似を達成する。
• 優先度キューを、その維持コストを全更新時間に埋め込む形で管理することで、クエリ時間を$O(1)$に最適化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパースおよび中程度に密集したグラフにおいて、減少的$(1+\epsilon)$-近似単一始点最短経路問題に対して、決定的アルゴリズムが全更新時間$O(mn^{0.5+o(1)})$を達成できるか。
• RQ2 動的エミュレータの維持および減少的カバーのための新技術を開発することで、決定的SSSPアルゴリズムの簡素化と高速化が可能か。
• RQ3 確率的手法に匹敵する性能を、完全に決定的手法のみを用いて減少的設定下で達成できるか。
• RQ4 現在のパス再構築の欠落を考慮しても、近似最短経路の報告をサポートするようにこのアプローチを拡張可能か。
• RQ5 同様の技術を用いて、有向グラフにおける$(1+\epsilon)$-近似SSSPの全更新時間を改善できるか。

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、$m = O(n^{1.5 - o(1)})$であるグラフにおいて、先行の決定的アルゴリズムよりも多項式的改善を達成する全更新時間$O(mn^{0.5+o(1)})$を実現する。
• スパースグラフにおいて$m = O(n^{1.5 - o(1)})$のとき、密度の高いグラフでは$\tilde{O}(n^2)$という既存の最良の決定的境界を改善し、スパースグラフでは$\tilde{O}(n^{1.25}\sqrt{m})$の境界を改善する。
• $(1+\epsilon)$-近似全点対最短経路問題のための新規決定的アルゴリズムが得られ、全実行時間は$\tilde{O}(mn/\epsilon)$となり、Henzingerらによる先行の洗練されたアルゴリズムと時間計算量が一致する。
• 本アルゴリズムは、決定的設定下で動的スパースエミュレータを維持する初のクラスタリング技術を導入し、効率的な動的グラフの維持を可能にする。
• 洗練された減少的カバーデータ構造と最適化されたヘビーライト分解の使用により、高コストの更新回数が削減され、全体の効率が向上する。
• 標準的なデータ構造を用いてクエリ時間を$O(1)$に最適化し、それらの構造を維持する総コストが全更新時間に埋め込まれている。