[論文レビュー] Decremental SSSP in Weighted Digraphs: Faster and Against an Adaptive Adversary

Maximilian Probst Gutenberg, Christian Wulff‐Nilsen|Research at the University of Copenhagen (University of Copenhagen)|Jan 29, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、適応的敵対者に対して作用する重み付き有向グラフにおける減損的$(1+\epsilon)$-近似単一始点最短経路のための、初めてのラスベガスデータ構造を提示する。重み付きグラフでは総期待更新時間が$\tilde{O}(m^{3/4}n^{5/4}\log W)$、無重みグラフでは$\tilde{O}(m^{2/3}n^{4/3})$を達成する。従来の確率的境界に比べ、適応的敵対者を扱えるとともに、すべてのグラフ密度においてより速い更新時間を持つ。

ABSTRACT

Given a dynamic digraph $G = (V,E)$ undergoing edge deletions and given $s\in V$ and $ε>0$, we consider the problem of maintaining $(1+ε)$-approximate shortest path distances from $s$ to all vertices in $G$ over the sequence of deletions. Even and Shiloach (J.~ACM'$81$) give a deterministic data structure for the exact version of the problem with total update time $O(mn)$. Henzinger et al. (STOC'$14$, ICALP'$15$) give a Monte Carlo data structure for the approximate version with improved total update time $ O(mn^{0.9 + o(1)}\log W)$ where $W$ is the ratio between the largest and smallest edge weight. A drawback of their data structure is that they only work against an oblivious adversary, meaning that the sequence of deletions needs to be fixed in advance. This limits its application as a black box inside algorithms. We present the following $(1+ε)$-approximate data structures: (1) the first data structure is Las Vegas and works against an adaptive adversary; it has total expected update time $ ilde O(m^{2/3}n^{4/3})$ for unweighted graphs and $ ilde O(m^{3/4}n^{5/4}\log W)$ for weighted graphs, (2) the second data structure is Las Vegas and assumes an oblivious adversary; it has total expected update time $ ilde O(\sqrt m n^{3/2})$ for unweighted graphs and $ ilde O(m^{2/3}n^{4/3}\log W)$ for weighted graphs, (3) the third data structure is Monte Carlo and is correct w.h.p.~against an oblivious adversary; it has total expected update time $ ilde O((mn)^{7/8}\log W) = ilde O(mn^{3/4}\log W)$. Each of our data structures can be queried at any stage of $G$ in constant worst-case time; if the adversary is oblivious, a query can be extended to also report such a path in time proportional to its length. Our update times are faster than those of Henzinger et al.~for all graph densities.

研究の動機と目的

• 従来の確率的データ構造が無関心な敵対者に対してのみ機能することによる制限を解消する。これは、複雑なアルゴリズムパイプラインにおける利用を制限する。
• 重み付き有向グラフにおける辺の削除下で$(1+\epsilon)$-近似最短経路距離を維持する、決定的またはラスベガスデータ構造を開発する。
• 密度の高いグラフでさえも、EvenとShiloach（1981年）の古典的$O(mn)$の境界を上回る、より速い総更新時間の達成。
• 敵対者が無関心である場合に、近似最短経路の報告を、経路長に比例する時間で効率的に行えるようにする。
• 正確なSSSPにおける$O(mn)$の更新時間の壁を打ち破る。正確な計算が不可能な中で、近似により進展が可能であることを示す。

提案手法

• スーパーソースとスーパーエッジを用いた階層的クラスタリング法を採用し、動的環境下で近似距離を維持する。
• 頂点の確率的サンプリングを適用し、有効なスーパーソースの数を制御し、階層の期待される深さを対数的に保証する。
• 親ポインタと構造的コンponents（$\mathcal{ES}(s')$）を用いて、動的森としての最短経路木を維持し、更新と経路再構築を効率的に行う。
• パラメータ$d$、$D'$、$\delta$、$\rho$を用いたパラメータ化された解析により、データ構造の異なる要素間のトレードオフを調整する。
• 期待処理時間の境界から導かれる制約の下でパラメータを最適化し、総更新時間を最小化する。$\tilde{O}$表記を用いて多項対数因子を無視する。
• 各頂点および辺が期待的に$O(\log n)$個の構造のみを処理することを確率的議論により示し、低期待更新コストを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適応的敵対者に対して作用する減損的SSSPのためのラスベガスデータ構造を設計でき、$O(mn)$未満の更新時間で実現可能か？
• RQ2 適応的辺削除下で、重み付き有向グラフにおける近似SSSPについて、EvenとShiloach（1981年）の$O(mn)$の更新時間境界を改善できるか？
• RQ3 すべてのグラフ密度において、Henzingerたちは（2014年）の$\tilde{O}(mn^{0.9+o(1)}\log W)$の境界を上回る更新時間は達成可能か？
• RQ4 適応的敵対者モデル下で、経路報告を効率的にサポートできるか、それともランダムネスを露呈する必要があるか？
• RQ5 減損的到達可能性における$\tilde{O}(m\sqrt{n})$の更新時間境界が、重み付き有向グラフにおける近似SSSPでも達成または上回れるか？

主な発見

• 重み付き有向グラフにおける減損的$(1+\epsilon)$-近似SSSPのための、適応的敵対者に対して作用する最初のラスベガスデータ構造が、総期待更新時間$\tilde{O}(m^{3/4}n^{5/4}\log W)$を達成した。
• 無重みグラフでは、同じデータ構造が総期待更新時間$\tilde{O}(m^{2/3}n^{4/3})$を達成し、EvenとShiloach（1981年）の$O(mn)$の境界を、最も疎でないすべてのグラフで上回った。
• 敵対者が無関心である場合、第二のラスベガスデータ構造が、無重みグラフで$\tilde{O}(\sqrt{m}n^{3/2})$、重み付きグラフで$\tilde{O}(m^{2/3}n^{4/3}\log W)$の更新時間を持つ。
• 高確率で正しく動作するモンテカルロデータ構造が、無関心な敵対者に対しては$\tilde{O}((mn)^{7/8}\log W) = \tilde{O}(mn^{3/4}\log W)$の総期待更新時間を持つ。
• $m = \Theta(n^2)$の場合、第二のデータ構造により、無重みケースで$\tilde{O}(n^{2+3/4+o(1)}\log W)$から$\tilde{O}(n^{2+1/2})$へ、重み付きケースで$\tilde{O}(n^{2+2/3}\log W)$に改善された。
• $m = \Theta(n)$の場合、第三のデータ構造により、$\tilde{O}(n^{1+5/6+o(1)}\log W)$から$\tilde{O}(n^{1+3/4}\log W)$に改善され、スパースグラフにおいて顕著な改善が示された。