[論文レビュー] Development of singularities for the compressible Euler equations with external force in several dimensions

Olga Rozanova|ArXiv.org|Nov 30, 2004

Navier-Stokes equation solutions参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複数次元空間における外部力が作用する圧縮性Euler方程式の解に対して、有限時間内に特異点が形成される十分条件を、エネルギーおよび運動量の推定を用いて確立する。有限質量および有限エネルギーを持つ滑らかな初期データですら、これらの条件下では有限時間内に特異点を発生することが示され、粘性流体、回転、減衰の応用を含む。また、明確な定量的意味において「最良の」十分条件を同定する。

ABSTRACT

We consider solutions to the Euler equations in the whole space from a certain class, which can be characterized, in particular, by finiteness of mass, total energy and momentum. We prove that for a large class of right-hand sides, including the viscous term, such solutions, no matter how smooth initially, develop a singularity within a finite time. We find a sufficient condition for the singularity formation, "the best sufficient condition", in the sense that one can explicitly construct a global in time smooth solution for which this condition is not satisfied "arbitrary little". Also compactly supported perturbation of nontrivial constant state is considered. We generalize the known theorem by Sideris on initial data resulting in singularities. Finally, we investigate the influence of frictional damping and rotation on the singularity formation.

研究の動機と目的

• n次元空間における外部力が作用する圧縮性Euler方程式の滑らかな解に対して、有限時間内に特異点が形成される十分条件を確立すること。
• 定数状態の compact 支持摂動に関する先行結果を、有限質量および有限エネルギーを持つより広いクラスの初期データへ一般化すること。
• 科リolis力、摩擦的減衰、および粘性項などの外部力が特異点形成に与える影響を分析すること。
• 特異点形成のための「最良の」十分条件を同定すること、すなわち、この条件をわずかに違反する大域的滑らかな解が存在することを意味する。
• 無限遠における減衰条件を満たす粘性圧縮性流れに対しても、同じ十分条件が成り立つように解析を拡張すること。

提案手法

• 有限質量、有限エネルギー、有限運動量を持つ解の関数族 $\mathfrak{K}$ を定義し、$G(t)$, $F(t)$, $\Theta_2(t)$ などの主要な量の時間発展方程式を導出する。
• エネルギーおよび運動量の推定を用いて、$G(t)$, $F(t)$, $\Theta_2(t)$ を含む微分不等式を導出する。特に補助関数 $\mathcal{K}$ を通じて行う。
• 圧力および渦度効果を捉えるために、$\mathcal{K} = \mathcal{M}^2 - l^2 G_+^2 + \delta$（$\delta$ は $\gamma$ および $n$ に依存）という修正エネルギー汎関数を導入する。
• 比較定理を適用し、微分不等式を統合することで、$\mathcal{K} > 0$ または $\mathcal{K} \leq 0$ かつ $F(0) > \sqrt{-\mathcal{K}}$ のとき、$F(t)$ が有限時間内に無限大に発散することを示す。
• $F(t)$ が勾配の増大を測る指標であることに着目し、無限大への発散が滑らかさの喪失を意味することを結論づける。
• 十分条件が、任意に小さい量だけ違反する場合でも大域的滑らかな解が存在することを示す明示的反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データが $\mathbb{R}^n$ における圧縮性Euler方程式の解に対して、滑らかであっても有限時間内に特異点を形成する条件は何か？
• RQ2 科リolis力、摩擦、および粘性項などの外部力が、圧縮性流れにおける特異点形成にどのように影響を与えるか？
• RQ3 特異点形成の十分条件が、任意に小さい量だけ違反する大域的滑らかな解が存在するという意味で「最良」であるとは、どのように解釈できるか？
• RQ4 初期の渦度（$F_{\perp}(0)$ を通じて解釈）は、特に気象学的文脈において特異点形成にどのような役割を果たすか？
• RQ5 結果を無限遠における減衰条件を満たす粘性圧縮性流れへどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• 関数族 $\mathfrak{K}$（有限質量、有限エネルギー、有限運動量）に属する解は、$\mathcal{K} > 0$ または $\mathcal{K} \leq 0$ かつ $F(0) > \sqrt{-\mathcal{K}}$ のとき、有限時間内に特異点を形成する。ここで $\mathcal{K}$ は質量、運動量、圧力項を組み合わせたものである。
• $\mathcal{K} > 0$ である条件は、「最良」である。すなわち、任意の $\epsilon > 0$ に対して、この条件を $\epsilon$ 未満の量だけ違反する大域的滑らかな解を構成可能である。
• 無限遠での減衰条件を満たす粘性圧縮性流れに対しても、$\mathcal{K}$ に関する十分条件が成り立つ限り、有限時間内に特異点が形成される。
• 科リolis力または回転が特異点条件を変更するが、定数に近い非定数科リolis係数に対しても、条件は依然として鋭いままである。
• $l$ が小さい極限において、条件を満たすためには初期渦度 $F_{\perp}(0)$ が負（低気圧的）でなければならない。これは、中緯度低気圧における気象的前線形成と関連している可能性がある。
• 微分不等式 $F'(t) \geq \frac{F^2(t) + \mathcal{K}}{2G_+}$ を用いて、特異点形成時刻の上界を推定可能であり、$\mathcal{K} > 0$ のとき有限時間内に爆発が生じる。