[論文レビュー] Dg analogues of the Zuckerman functors and the dual Zuckerman functors II

Takuma Hayashi|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、モデル圏論を用いて、Zuckerman関手のdg類似物およびその双対の導来函手を構成し、dg対および弱対上の加群の圏に組み込み的モデル構造を確立する。主な貢献は、左Quillen函手による非有界導来函手の構成であり、特性が0で、再帰的群の仮定のもとで、インジェクティブ構造とプロジェクト型構造の間の同値性を示している。

ABSTRACT

In the first part of this series of papers we constructed dg analogues of the Zuckerman functors over commutative rings and the dual Zuckerman functors over the field of complex numbers. In this paper we construct their derived functors in view of the theory of model categories.

研究の動機と目的

• 非有界導来圏の文脈において、Zuckerman関手のdg類似物およびその双対の導来函手を定義し、構成すること。
• dg弱対および対上の加群の圏に、函手を導出するのに適した組み込み的モデル構造を確立すること。
• 特性が0で、Kが再帰的群であるという仮定のもとで、これらの加群圏上のプロジェクト型構造とインジェクティブ構造がQuillen同値であることを証明すること。
• dg類似物のZuckerman関手に関する先行研究を、モデル圏によるホモトピー代数の枠組みを組み込むことで拡張すること。

提案手法

• 特にQuillenの枠組みを用いて、dg Zuckerman関手の導来函手を構成するためのモデル圏論を用いる。
• 転送定理（定理2.5.1）を適用し、随伴函手を介して、$K\textrm{-}\mathrm{mod}$ から $(\tilde{A},K)\textrm{-}\mathrm{mod}_{w}$ および $(\tilde{A},K)\textrm{-}\mathrm{mod}$ へのプロジェクト型構造を移行する。
• 経路対象を、$M \bigoplus M \to M$ の写像のコーンの $[-1]$-シフトを用いて構成し、右ホモトピーを定義する。
• 右ホモトピーが、$(\mathcal{A},K)$-加群のチェーンホモトピーと正確に一致することを確立する。
• Quillen同値性基準を適用し、恒等函手がインジェクティブ構造とプロジェクト型構造の間のQuillen同値性を誘導することを示す。
• モデル構造の同値性を保証するために、$k$ が特性0の体であり、$K$ が再帰的群であるという仮定に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてモデル圏論を用いて、dg Zuckerman関手の類似物の導来函手を構成できるか？
• RQ2 インジェクティブ構造とプロジェクト型構造が、$(\mathcal{A},K)$-加群の圏において、どのような条件下でQuillen同値となるか？
• RQ3 弱対上のdg加群の文脈において、チェーンホモトピーと右ホモトピーの関係は何か？
• RQ4 関手 $P^{\mathcal{B},L}_{\mathcal{A},K,w}$ および $P^{\mathcal{B},L}_{\mathcal{A},K}$ は、プロジェクト型構造のもとで左Quillen函手としてどのように振る舞うか？
• RQ5 加群圏間の忘却函手が、導来函手と整合する左随伴を備えるための条件は何か？

主な発見

• $K\textrm{-}\mathrm{mod}$ からの転送を用いて、$(\mathcal{A},K)\textrm{-}\mathrm{mod}_{w}$ および $(\mathcal{A},K)\textrm{-}\mathrm{mod}$ に、ファイブレーションが全射、弱同値が準同型である組み込み的モデル構造が構成される。
• $K$ および $L$ が再帰的であるとき、関手 $P^{\mathcal{B},L}_{\mathcal{A},K,w}$ および $P^{\mathcal{B},L}_{\mathcal{A},K}$ がプロジェクト型構造に関して左Quillen函手であることが示される。
• 左Quillen性質により、非有界導来函手 $\mathbb{L}P^{\mathcal{B},L}_{\mathcal{A},K,w}$ および $\mathbb{L}P^{\mathcal{B},L}_{\mathcal{A},K}$ が適切に定義される。
• 経路対象構成に基づく右ホモトピーは、$(\mathcal{A},K)$-加群のチェーンホモトピーと同値である。
• $k$ が特性0の体であり、$K$ が再帰的群であるとき、恒等函手は、$(\mathcal{A},K)\textrm{-}\mathrm{mod}_{w}$ および $(\mathcal{A},K)\textrm{-}\mathrm{mod}$ 上のインジェクティブ構造とプロジェクト型構造の間のQuillen同値性を誘導する。
• モデル構造は適切であり、弱同値は3つに1つが同値であることの性質を満たし、再帰的包摂に関して閉じている。