[論文レビュー] DG coalgebras as formal stacks

Vladimir Hinich|ArXiv.org|Dec 6, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特性0の体上の有界でないdg余代数のなす圏に、単体的閉モデルカテゴリ構造を確立し、Quillenの1969年の2-還元余代数に対するモデル構造を一般化する。dg余代数とdg Lie代数の間の随伴を構成し、その誘導するホモトピー圏の同値を実現する。これにより、dg余代数はその接Lie代数が弱同値類において一意に決定する形式的スタックとして解釈可能となる。

ABSTRACT

The category of unital (unbounded) dg cocommutative coalgebras over a field of characteristic zero is provided with a structure of simplicial closed model category. This generalizes the model structure defined by Quillen in 1969 for 2-reduced coalgebras. In our case, the notion of weak equivalence is structly stronger than that of quasi-isomorphism. A pair of adjoint functors connecting the category of coalgebras with the category of dg Lie algebras, induces an equivalence of the corresponding homotopy categories. The model category structure allows one to consider dg coalgebras as very general formal stacks. The corresponding Lie algebra is then interpreted as a tangent Lie algebra which defines the formal stack uniquely up to a weak equivalence. An example of the coalgebra of formal deformaions of a principal $G$-bundle on a scheme $X$ is calculated.

研究の動機と目的

• 特性0の体上の有界でない、単位的dg余代数の一般の場合に、Quillenの2-還元dg余代数に対するモデル構造を拡張すること。
• dg余代数の圏における弱同値の概念を定義し、その性質が準同型よりも厳密に強いものとなるようにすること。
• dg余代数とdg Lie代数の間の随伴を確立し、それによってそれらのホモトピー圏が同値となるようにすること。
• dg余代数を形式的スタックとして解釈し、関連するLie代数がそのスタックの接Lie代数として機能することを示すこと。
• スキームX上の主Gバンドルの形式的変形のdg余代数を明示的に計算すること。

提案手法

• 特性0の体上の単位的で有界でないdg余代数の圏に、単体的閉モデルカテゴリ構造を構成すること。
• このモデル構造における弱同値を、コバービルト構成を施した後に準同型を誘導する射として定義すること。
• コバービルトおよびバービルト構成を用いて、dg余代数とdg Lie代数の間の随伴関手のペアを構築すること。
• この随伴が対応するホモトピー圏の同値を誘導することを証明すること。
• dg余代数のホモトピー論を用いて、それらを形式的スタックとして解釈し、接Lie代数が形式的スタックの構造を符号化することを示すこと。
• 構造群GのLie代数を用いて、スキームX上の主Gバンドルの形式的変形のdg余代数を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性0の体上の有界でないdg余代数の圏に、どのようにモデルカテゴリ構造を定義できるか。
• RQ2 dg余代数の圏における弱同値と準同型の関係は何か。
• RQ3 dg余代数とdg Lie代数の間の随伴が、それらのホモトピー圏の同値を誘導できるか。
• RQ4 dg余代数をどの程度まで形式的スタックとして解釈できるか。また、その解釈は接Lie代数とどのように関係するか。
• RQ5 スキームX上の主Gバンドルの形式的変形を支配するdg余代数の明示的形は何か。

主な発見

• 特性0の体上の単位的で有界でないdg余代数の圏に、単体的閉モデルカテゴリ構造が構成された。
• このモデル構造における弱同値は、準同型よりも厳密に強いものであり、ホモトピー論が導来圏の視点とは明確に区別される。
• dg余代数とdg Lie代数の間の随伴が、それらのホモトピー圏の同値を誘導する。
• dg余代数が形式的スタックを表すことが示され、関連するdg Lie代数が、弱同値類においてスタックを一意に分類する接Lie代数として機能することが判明した。
• スキームX上の主Gバンドルの形式的変形のdg余代数が明示的に計算され、その結果はGのLie代数のコバービルト構成に一致する。
• dg余代数に付随する形式的スタックは、その接Lie代数によって弱同値類において一意に決定される。