[論文レビュー] Diamantine Picard functors of rigid spaces

Ben Heuer|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{Q}_p$ の完美oid体拡大上の連結で滑らかかつ固有な剛体空間に対して、エタールのダイアモンド的ピカード関手が、古典的な剛体解析的ピカード関手のダイアモンド化であることを確立する。剛体ピカード関手の代表可能性が、そのダイアモンド的同型体の代表可能性を示し、乗法的ホッジ＝トーラー列に関連する $v$-ピカード関手を導入することで、$p$-進スミスン対応の新しいモジュライ的視点が得られる。

ABSTRACT

For a connected smooth proper rigid space $X$ over a perfectoid field extension of $\mathbb Q_p$, we show that the étale Picard functor of $X$ defined on perfectoid test objects is the diamondification of the rigid analytic Picard functor. In particular, it is represented by a rigid analytic group variety if and only if the rigid analytic Picard functor is. Second, we study the $v$-Picard functor that parametrises line bundles in the finer $v$-topology on the diamond associated to $X$ and relate this to the rigid analytic Picard functor by a geometrisation of the multiplicative Hodge--Tate sequence. The motivation is an application to the $p$-adic Simpson correspondence, namely our results pave the way towards the first instance of a new moduli theoretic perspective.

研究の動機と目的

• 剛体解析幾何から、完美oid空間およびダイアモンドのより大きな圏へのピカード関手理論を拡張すること。
• エタールのダイアモンド的ピカード関手と古典的な剛体解析的ピカード関手の関係を明確にすること。
• ダイアモンド上に $v$-ピカード関手を導入し、乗法的ホッジ＝トーラー列を通じて剛体解析的ピカード関手と関連付けること。
• $p$-進スミスン対応に対するモジュライ的アプローチへの基礎的段階を提供すること。

提案手法

• 滑らかで固有な剛体空間 $X$ について、その完美oid体上のダイアモンド化 $\pi^{\diamondsuit}$ 沿いの $\mathbb{G}_m$ の $R^1$ 送り込みとしてエタールのダイアモンド的ピカード関手を定義する。
• 代表可能性を仮定しない状況でも、剛体解析的ピカード関手のダイアモンド化とエタールのダイアモンド的ピカード関手との間に自然な同型が存在することを確立する。
• $v$-線束の同型類を送る関手の $v$-シャーフィケーションとして $v$-ピカード関手を定義し、それを剛体解析的ピカード関手と関連付ける。
• 乗法的ホッジ＝トーラー列の幾何化を用いて、$v$-ピカード関手とエタールのダイアモンド的ピカード関手との関係を示す。
• アベロイド多様体の双対性理論を用いて、ダイアモンド的ピカード関手の平行移動不変部分が、双対アベロイドのダイアモンド化によって代表されることを示す。
• バナッハ加群コホモロジーおよび $\varpi$--adic 完備性の技術を用いて、コホモロジー複体内の torsion 性質を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで固有な剛体空間 $X$ について、$\mathbb{Q}_p$ の完美oid体上に存在するエタールのダイアモンド的ピカード関手は、古典的な剛体解析的ピカード関手とどのように関係するか？
• RQ2 エタールのダイアモンド的ピカード関手がダイアモンドによって代表可能となる条件は何か？
• RQ3 ダイアモンドに関連する剛体空間上の線束の文脈において、$v$-ピカード関手は果たす役割は何か？
• RQ4 乗法的ホッジ＝トーラー列の幾何的関係は、$v$-ピカード関手と剛体解析的ピカード関手とをどのように結びつけるか？
• RQ5 ダイアモンド的ピカード関手は、$p$-進スミスン対応に対する新しいモジュライ的枠組みを提供できるか？

主な発見

• 古典的な剛体解析的ピカード関手 $\mathbf{Pic}_{X,\acute{e}t}$ が代表可能でない場合であっても、エタールのダイアモンド的ピカード関手 $\mathbf{Pic}^{\diamond}_{X,\acute{e}t}$ は、剛体解析的ピカード関手のダイアモンド化と自然に同型である。
• 剛体解析的ピカード関手が剛体空間によって代表可能であれば、そのダイアモンド化はエタールのダイアモンド的ピカード関手を代表する。
• 任意の $K$ 上の完美oid空間 $Y$ に対して、$X \times Y$ 上の線束の同型類で、ある断面 $x \times Y$ 沿いに自明であるものは、$K$ 上の $Y \to \mathbf{Pic}_{X,\acute{e}t}$ の準同型と自然に一対一対応する（固有性を仮定）。
• $v$-ピカード関手 $\mathbf{Pic}^{\diamond}_{X,v}$ は、乗法的ホッジ＝トーラー列の幾何化を通じて剛体解析的ピカード関手と関連づけられる。
• アベロイド多様体 $A$ に対して、ダイアモンド的ピカード関手 $\mathbf{Pic}^{\diamond\tau}_{A,\acute{e}t}$ の平行移動不変部分は、双対アベロイド $A^\vee$ のダイアモンド化 $A^{\vee\diamondsuit}$ によって代表される。
• $\varpi$--adically 完備な複体のコホモロジー解析により、$\varpi$ を逆元にした後、コホモロジーの有限次元性が保証されれば、$H^n(C^\bullet)$ は有界な $\varpi$-torsion を持つことが保証され、これが重要な代表可能性の議論を可能にする。