[論文レビュー] Diffeomorphism-invariant generalized measures on the space of connections modulo gauge transformations

John C. Baez|ArXiv.org|May 11, 1993

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、埋め込みグラフ上の格子規則場理論を用いて、ゲージ変換による商空間としての接続空間における微分同相変換不変一般化測度を構築し、AshtekarとLewandowskiの研究を一般化する。主な貢献は、リンク不変量を支持し、量子重力理論およびチャーン・サイモンズ理論におけるループ表現を裏付ける数学的に厳密な枠組みを提供することである。

ABSTRACT

The notion of a measure on the space of connections modulo gauge transformations that is invariant under diffeomorphisms of the base manifold is important in a variety of contexts in mathematical physics and topology. At the formal level, an example of such a measure is given by the Chern-Simons path integral. Certain measures of this sort also play the role of states in quantum gravity in Ashtekar's formalism. These measures define link invariants, or more generally multiloop invariants; as noted by Witten, the Chern-Simons path integral gives rise to the Jones polynomial, while in quantum gravity this observation is the basis of the loop representation due to Rovelli and Smolin. Here we review recent work on making these ideas mathematically rigorous, and give a rigorous construction of diffeomorphism-invariant measures on the space of connections modulo gauge transformations generalizing the recent work of Ashtekar and Lewandowski. This construction proceeds by doing lattice gauge theory on graphs analytically embedded in the base manifold.

研究の動機と目的

• ゲージ変換による商空間としての接続空間における微分同相変換不変一般化測度の数学的に厳密な定式化を提供すること。
• AshtekarとLewandowskiの一般化測度に関する研究を、完全な微分同相変換不変性を含むように拡張すること。
• 量子重力理論およびトポロジカル量子場理論におけるループ表現の基礎を確立すること。
• チャーン・サイモンズ理論における経路積分の直感を測度論的枠組みに形式化すること。
• 形式的経路積分と接続空間上の明確に定義された数学的対象（測度）を結びつけること。

提案手法

• ベース多様体に埋め込まれたグラフを用いて、ゲージ変換による商空間としての接続空間上の測度を構築する。
• グラフの解析的埋め込みに格子規則場理論の技法を適用し、円筒関数を定義する。
• 埋め込みグラフの滑らかな変形に対して測度が不変であるようにすることで、微分同相変換不変性を課す。
• グラフに関連する円筒関数の代数上の線形汎関数として一般化測度を定義する。
• 射影極限の構成を用いて、ゲージ変換による商空間としての全接続空間上の測度を定義する。
• 部分グラフおよびグラフの埋め込みに関して、異なるグラフ間での整合性を保つために、適合性を要請する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、ゲージ変換による商空間としての接続空間における微分同相変換不変測度を数学的に厳密に定義できるか？
• RQ2 量子重力理論の文脈において、チャーン・サイモンズ経路積分の背後にある数学的構造は何か？
• RQ3 Ashtekar形式におけるループ表現は、明確に定義された測度論的枠組みによってどのように支持されるか？
• RQ4 埋め込みグラフは、微分同相変換に対して不変な一般化測度を構築する上で、果たす役割は何か？
• RQ5 チャーン・サイモンズ理論から得られるリンク不変量は、接続空間上の一般化測度から再構成可能か？

主な発見

• 本稿は、ゲージ変換による商空間としての接続空間における微分同相変換不変一般化測度の族を構築した。
• これらの測度は、埋め込みグラフ上の円筒関数を介して定義され、ベース多様体の位相と整合性を保つ。
• この構成は、AshtekarとLewandowskiの先行研究を、完全な微分同相変換不変性を含む形で一般化したものである。
• 測度は自然に多重ループ不変量を生じさせ、トポロジカル量子場理論におけるジョーンズ多項式を一般化する。
• この枠組みは、正準量子重力理論におけるループ表現の測度論的基盤を厳密に提供する。
• この手法により、形式的チャーン・サイモンズ経路積分と関数解析における明確に定義された数学的対象との直接的な関連が確立された。