[論文レビュー] Different representations of Euclidean geometry and their application to the space-time geometry

Yuri A. Rylov|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2007

Relativity and Gravitational Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ベクトルや角度といった従来の概念に代わり、点と世界関数 σ = ρ²/2 のみを用いたユークリッド幾何学の新しい σ-表現を提案する。世界関数を制約を受ける幾何的構造として扱うことで、ユークリッド幾分幾何に系を系としての変形が可能となり、等しいベクトルが等価でない場合がある多価幾何へと一般化され、時空幾何における量子効果のモデル化に基礎を提供する。

ABSTRACT

Three different representation of the proper Euclidean geometry are considered. They differ in the number of basic elements, from which the geometrical objects are constructed. In E-representation there are three basic elements (point, segment, angle) and no additional structures. V-representation contains two basic elements (point, vector) and additional structure: linear vector space. In sigma-representation there is only one basic element and additional structure: world function σ=ρ^{2}/2, where ρis the distance. The concept of distance appears in all representations. However, as a structure, determining the geometry, the distance appears only in the sigma-representation. The sigma-representation is most appropriate for modification of the proper Euclidean geometry. Practically any modification of the proper Euclidean geometry turns it into multivariant geometry, where there are many vectors Q_0Q_1, Q_0Q_1^{\prime},..., which are equal to the vector P_0P_1, but they are not equal between themselves, in general. Concept of multivariance is very important in application to the space-time geometry. The real space-time geometry is multivariant. Multivariance of the space-time geometry is responsible for quantum effects.

研究の動機と目的

• 点のみと世界関数 σ=ρ²/2 を基本的構造として用いることで、ユークリッド幾何学を基本的要素を最小限に抑えて再構築すること。
• 世界関数 σ が公理 I–IV によって制約を受けると、従来の表現とは異なり、幾何を定義する構造的要素となることの証明。
• ユークリッドの世界関数 σ_E を新たな世界関数 σ に置き換えることで、非公理的で多価的な新しい物理的幾何が生成されることの示唆。
• このような変形によって生じる時空幾何の多価性が、量子現象の背後にあるものであると主張すること。
• 従来の公理的体系と物理的幾何の間の概念的矛盾を解消するため、ベクトル空間とスカラー積の役割を再定義すること。

提案手法

• 点のみを基本的要素とし、世界関数 σ=ρ²/2 を唯一の幾何的構造とする σ-表現を定義する。
• σ に四つの制約（I–IV）を課すことにより、正しくユークリッド幾何に対応するようにし、σ を構造的不変量とみなす。
• すべての幾何的概念—ベクトル、角度、距離—を σ のみで表現し、|P₀P₁|² = 2σ(P₀,P₁) などの恒等式を用いる。
• すべての幾何的定義において σ_E を新たな世界関数 σ に置き換えることで、新しい物理的幾何を生成する。
• 三点 A, B, C を用いてスカラー積を σ を用いて表す: (A·B) = σ(A,B) + σ(A,C) − σ(B,C) により、角度的および方向的関係を回復する。
• 得られる幾何において、与えられたベクトルに等しい複数のベクトルが互いに等しくない（多価性）ことが示され、同値関係の推移性が破れる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド幾何学を、点と世界関数 σ=ρ²/2 のみを用いて完全に再構築可能か？
• RQ2 世界関数 σ が正しくユークリッド幾何学を再現するためには、どのような制約を満たすべきか？
• RQ3 σ_E を別の σ に置き換えることで、どのような新しい物理的幾何が生成され、それらの性質は何か？
• RQ4 このような変形された幾何においてなぜ多価性が生じるのか、そしてそれが量子行動とどのように関係するのか？
• RQ5 このような幾何において同値関係が推移的でないのはなぜか、そしてこれは従来の公理的体系にどのように挑戦するのか？

主な発見

• σ-表現により、ユークリッド幾何学は1つの基本的要素（点）と1つの構造（世界関数 σ）に還元され、他のすべての概念はこれに由来する。
• 世界関数 σ は、σ-表現においてのみ構造的要素となる。公理 I–IV によって制約を受けるため、E- や V- 表現とは異なり、構造的不変量として機能する。
• σ を σ_E から別の関数に変形することで、一般に公理的でない新しい物理的幾何が生成され、同値関係の非推移性が原因となる。
• 多価性は、このような変形された幾何において自然に生じる：与えられたベクトルに等しい複数のベクトルが、互いに等しくない場合がある。
• このような σ-変形幾何によってモデル化される時空幾何の多価性は、量子効果の幾何的説明を提供する。
• 線形ベクトル空間構造は根本的ではなく、V-表現でのみ出現する。物理的幾何では、これは導出的であり、常に定義可能というわけではない。