[論文レビュー] Multivariance as a crucial property of microcosm

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|Jun 10, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、微視的時空幾何における多変性（異なる点における同等のベクトルが互いに同等でないこと）が、従来の量子力学を必要とせずに本質的に多変性（量子的）な粒子力学を生じる、時空幾何の根本的性質であると提唱する。著者は、世界関数形式を用いて記述される粗い（部分的離散的、部分的連続的）時空幾何が、自然に離散的粒子性質を生成し、量子原理の仮定を不要にする、と主張する。

ABSTRACT

The conventional method of a generalized geometry construction, based on deduction of all propositions of the geometry from axioms, appears to be imperfect in the sense, that multivariant geometries cannot be constructed by means of this method. Multivariant geometry is such a geometry, where at the point P there are many vectors PP', PP'',... which are equivalent to the vector QQ' at the point Q, but they are not equivalent between themselves. In the conventional (Euclidean) method the equivalence relation is transitive, whereas in a multivariant geometry the equivalence relation is intransitive, in general. It is a reason, why the multivariant geometries cannot be deduced from a system of axioms. The space-time geometry in microcosm is multivariant. Multivariant geometry is a grainy geometry, i.e. the geometry, which is partly continuous and partly discrete. Multivariance is a mathematical method of the graininess description. The graininess (and multivariance) of the space-time geometry generates a multivariant (quantum) motion of particles in microcosm. Besides, the grainy space-time generates some discrimination mechanism, responsible for discrete parameters (mass, charge, spin) of elementary particles. Dynamics of particles appears to be determined completely by properties of the grainy space-time geometry. The quantum principles appear to be needless.

研究の動機と目的

• 微視的物理学における時空幾何の根本的かつこれまでに無視されてきた性質としての多変性を確立すること。
• 等価関係の非推移的性質により、従来の公理的幾何学が多変性幾何を記述できないことの理由を明らかにすること。
• 質量、電荷、スピンといった離散的粒子性質が、量子則を仮定するのではなく、粗い時空幾何における幾何的差別化から生じることを示すこと。
• 微小分割性を有する時空に適した、無限小微分方程式の代わりに有限世界鎖に基づく幾何的力学を構築すること。
• 粒子力学と幾何学を統一し、力学が完全に粗い時空幾何の構造から生じることを示すこと。

提案手法

• ある点における与えられたベクトルに同等のベクトルが、別の点においては互いに同等ではないという多変性を幾何的性質として導入し、等価関係の推移性が破られる。
• 世界関数形式を用いて時空幾何を記述し、歪んだ時空とミンコフスキー時空の点密度比 ρ(σd) = dσd/dσE として粗さを表現可能にする。
• 粗さを時空の物理的性質とし、連続性と離散性を極限的状態とみなし、ベクトル空間に基づく幾何学ではこのような中間状態を記述できないことを示す。
• 無限小微分方程式の代わりに、有限リンクを持つ世界鎖（世界線の一般化）を用いて幾何的力学を構築する。
• 形式的体系を適用し、多変性と粗さが、量子力学を援用せずに粒子的性質と力学を生成することを示す。
• リーマン幾何学が平行移動と無限分割性に依存するため、物理的粗さと矛盾し、自然な多変性を抑圧するため、微視物理学への適用性が制限されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等価関係が非推移的である多変性幾何は、一貫して定式化可能であり、微視的時空を記述するために使用可能だろうか？
• RQ2 部分的連続的・部分的離散的である粗い時空幾何は、質量やスピンといった離散的粒子性質をどのように生成するのか？
• RQ3 微視的領域における粒子力学は、量子原理を仮定せずに、幾何的構造から完全に導出可能だろうか？
• RQ4 従来の公理的方法が多変性幾何を構築できない理由は何か？そして、それらを記述可能にする代替形式的体系は何か？
• RQ5 有限リンクを持つ世界鎖形式は、分割性が制限された時空において、どのように無限小世界線の代わりに微分方程式を置き換えるのか？

主な発見

• 多変性は、非推移的ベクトル等価性に起因する微視的時空幾何の根本的性質であり、従来の公理的幾何では捉えられない。
• 密度比 ρ(σd) = dσd/dσE で記述される粗い時空幾何が、質量・電荷・スピンといった基本粒子性質の離散的値を規定する。
• 世界関数形式は、連続的および離散的両状態を含む幾何的記述を可能にし、標準的なベクトル空間に基づく幾何学とは異なりうる。
• 粗い時空における粒子力学は、本質的に多変性的かつ決定論的であり、幾何的構造によってのみ支配され、量子力学の導入を不要にする。
• リーマン幾何学は、無限分割性と平行移動の仮定に依存するため、自然な多変性を抑圧し、微視物理学への適用性を制限する。
• 有限世界鎖が無限小世界線の代わりに用いられ、分割性が制限された時空に一貫した力学的枠組みを提供する。