[論文レビュー] Differential and complex geometry of two-dimensional noncommutative tori

Momar Dieng, Albert Schwarz|ArXiv.org|Mar 15, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、2次元非可換トーラス上の射影的モジュールおよび複素構造について詳細な分析を行い、非可換幾何学へのθ関数の一般化を提供する。特に、これらのモジュール内に正則ベクトル（θベクトル）を明示的に構成し、それらのテンソル積関係を導出する。正則ベクトルのテンソル積が依然として正則であることを示し、古典的θ関数および非可換パrameter θのモジュラー変換を含む明示的公式を提示する。

ABSTRACT

We analyze in detail projective modules over two-dimensional noncommutative tori and complex structures on these modules.We concentrate our attention on properties of holomorphic vectors in these modules; the theory of these vectors generalizes the theory of theta-functions. The paper is self-contained; it can be used also as an introduction to the theory of noncommutative spaces with simplest space of this kind thoroughly analyzed as a basic example.

研究の動機と目的

• 2次元非可換トーラス上での射影的モジュールおよび複素構造について、自己完結的かつ明示的な分析を提供すること。
• 非可換トーラス上のモジュールにおける正則ベクトルを用いて、θ関数の理論を非可換設定に一般化すること。
• 基本的モジュールおよび双モジュールにおける正則ベクトルのテンソル積の明示的公式を導出すること。
• 正則ベクトルのテンソル積が依然として正則であることを確立し、古典的θ関数形式を非可換幾何学へ拡張すること。
• 2次元非可換トーラスを基礎例として用いることで、非可換複素幾何学の明確で計算可能なモデルを提供すること。

提案手法

• 2次元非可換トーラス $T_{\theta}^2$ 上の射影的モジュール $E_{n,m}$ を、$\mathbb{R} \times \mathbb{Z}_m$ 上の関数として、$U_1$ および $U_2$ の作用を明示的に定義する。
• 作用則において $\theta$ を $-\theta$ に置き換えることで、左モジュール $E_{n,m}'$ を定義し、双モジュール構造を可能にする。
• 定曲率を持つ接続を用いてモジュール上に複素構造を定義し、関連する双モジュール上に複素構造を誘導する。
• 正則ベクトル（θベクトル）を $\partial$-方程式の解として導出し、$\sigma = i\tau \frac{m}{n + m\theta}$ でパラメータ化し、$\mathrm{Re}\,\sigma > 0$ を満たす。
• 明示的同型を用いて、$T_{\theta'}$-$T_{\theta}$ および $T_{\theta}$-$T_{\theta''}$ 双モジュールにおける正則ベクトルのテンソル積を計算する。
• 得られたテンソル積内の正則ベクトルを基底ベクトルの線形結合として表現し、その係数には古典的θ関数および $\gamma$ に関する二次指数関数が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元非可換トーラス上の射影的モジュール内に、正則ベクトル（θベクトル）をどのように明示的に構成できるか？
• RQ2 $T_{\theta'}$-$T_{\theta}$ および $T_{\theta}$-$T_{\theta''}$ 双モジュールにおける正則ベクトルのテンソル積の構造はいかなるものか？
• RQ3 パrameter $\theta$, $\theta'$, および $\theta''$ はテンソル積作用の下でどのように変換され、それらを支配するモジュラー関係は何か？
• RQ4 テンソル積モジュール内の正則ベクトルの正確な形は何か？ また、古典的θ関数とどのように関係しているか？
• RQ5 パrameter $\theta$, $n$, $m$, $k$, $l$ に対して、正則ベクトルが存在する条件は何か？ また、その次元はいかなるものか？

主な発見

• モジュール $E_{n,m}$ 内の正則ベクトルの空間は $m$ 次元であり、$\sigma = i\tau \frac{m}{n + m\theta}$ および $\mathrm{Re}\,\sigma > 0$ を満たす条件下で、$\varphi_\alpha(x) = e^{-\frac{1}{2}\sigma x^2 - c x} \delta_\alpha^\mu$ の形の関数によって張られる。
• $(T_{\theta'}, T_{\theta})$-双モジュール $\mathcal{E}'$ で $E_{n,m}$ に同型な正則ベクトルと、$(T_{\theta}, T_{\theta''})$-双モジュール $\mathcal{E}''$ で $E_{k,l}'$ に同型な正則ベクトルのテンソル積は、$(T_{\theta'}, T_{\theta''})$-双モジュール $E_{ak+bl, nl + mk}'$ に同型な正則ベクトルを生成する。ここで $a, b \in \mathbb{Z}$ は $an - bm = 1$ を満たす。
• テンソル積における得られた正則ベクトルは $\Xi_{\alpha\beta}(z, \Delta) = \sum_\gamma c_{\alpha\beta}^\gamma \varphi_\gamma(z, \Delta)$ と表され、係数 $c_{\alpha\beta}^\gamma$ は古典的θ関数 $\Theta(s,t)$ と指数関数 $e^K$ を含む。
• θ関数内のパラメータ $s$ および $t$ は明示的に $s = -ml(nl + mk)$ および $t = \frac{l\tau\Delta - q_0(nl + mk)}{r} + \frac{c_1 l(n + m\theta) - c_2 m(k - l\theta)}{2\pi i r}$ と定まる。ここで $q_0$ および $r$ はモジュラー変換の文脈で定義される。
• テンソル積双モジュール上の複素構造は、個々のモジュール上の複素構造と整合的であり、正則性がテンソル積のもとでも保存されることを保証する。
• この構成により、非可換モジュール内の正則ベクトルによるθ関数の非可換一般化が、非可換パrameter $\theta$ のモジュラー変換を尊重することが確認された。