[論文レビュー] Differential cohomology theories as sheaves of spectra

Ulrich Bunke, Thomas Nikolaus+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、滑らかな多様体上のスペクトル層の任意のものについて、自然に微分コhomology図式とホモトピー公式が生じることを確立し、微分コhomology理論の古典的特徴を統一する。層をホモトピー的不変部分とサイクルに類似した部分に、随伴函手を用いて分解することで、新しい微分コhomology理論を、それらのホモトピー型、サイクルデータ、および貼り合わせ写像を通して体系的に分析する一般枠組みを提供する。

ABSTRACT

We show that every sheaf on the site of smooth manifolds with values in a stable (infinity,1)-category (like spectra or chain complexes) gives rise to a differential cohomology diagram and a homotopy formula, which are common features of all classical examples of differential cohomology theories. These structures are naturally derived from a canonical decomposition of a sheaf into a homotopy invariant part and a piece which has a trivial evaluation on a point. In the classical examples the latter is the contribution of differential forms. This decomposition suggest a natural scheme to analyse new sheaves by determining these pieces and the gluing data. We perform this analysis for a variety of classical and not so classical examples.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体のサイト上のスペクトル層を用いた、微分コhomology理論の統一的で抽象的な枠組みを提供すること。
• すべてのこのような層に共通する普遍的構造的特徴—微分コhomology図式とホモトピー公式—を特定すること。
• 任意の層を随伴函手を用いてホモトピー的不変部分とサイクルに類似した部分に分解し、新しい例の体系的分析を可能にすること。
• 古典的構成（例：ホプキンズ＝シンガー、デリーニコhomology）を一般化し、それらがこの分解から生じることを示すこと。
• 微分形式に依存しないで微分コhomology理論を構成できることを示すこと、そのような例を構成することで。

提案手法

• 定数層函手の左および右随伴を用いて、層をホモトピー的不変部分とサイクルデータを符号化する部分に分解する。
• ホモトピー化函手（左随伴）を適用して、ホモトピー的不変成分を抽出する。この際、多様体の局所的可縮性を活用する。
• 曲率写像を特徴的写像と微分形式に類似した成分の合成として定義し、微分コhomologyにおける古典的曲率を一般化する。
• ホモトピー公式を用いて、ホモトピー不変性の不成立を数量化する。これは、層がホモトピー的不変でないことに起因する。
• 分解を用いて例を分析する：ホモトピー的不変部分、サイクルデータ、およびそれらの間の貼り合わせ写像を特定する。
• ホモトピー論と整合性を持つよう、安定な$(∞,1)$-圏（例：スペクトルまたはチェイン複体）を終域圏として採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての微分コhomology理論に共通する普遍的構造は何か。これは、その構成方法に関係なく成立する。
• RQ2 滑らかな多様体上の一般のスペクトル層は、どのようにホモトピー的不変部分とサイクルに類似した部分に分解できるか。
• RQ3 微分コhomology理論は、微分形式への言及なしにどの程度構成可能か。
• RQ4 デリーニコhomology や微分K理論といった古典的例は、この抽象的枠組みにおいてどのように位置づけられるか。
• RQ5 ホモトピー公式は、微分コhomologyにおけるホモトピー不変性の失敗をどのように特徴づけるか。

主な発見

• 滑らかな多様体上のスペクトル層の任意のものについて、自然に微分コhomology図式（曲率、類、ホモトピー写像を含む）が生じる。
• ホモトピー公式はホモトピー不変性の不成立を数量化し、すべてのこのような層に普遍的に成り立つ。
• ホモトピー的不変部分とサイクルに類似した部分への分解は、自然かつ函手的であり、層の圏上の随伴函手から生じる。
• 一般化されたデリーニココホモロジー やホプキンズ＝シンガーの微分K理論といった古典的例は、この分解の特別な場合として回復される。
• 微分形式とは関係のないサイクルデータを持つ例が存在し、微分コhomology理論が形式を含まない場合があることを示している。
• アーベルリー群によって表される層は、古典的手法によって構成されたものと同値であることが示され、既知の構成と整合性が確認された。