[論文レビュー] Differential Graded Lie Algebras and Deformations of Holomorphic Maps

Donatella Iacono|ArXiv.org|Jan 3, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本学位論文は、コンpact複素多様体間の正則写像の無限小変形を研究するための微分 graded Lie 代数（DGLA）枠組みを確立する。正則写像の変形函手が、関連する準同型の写像コーンから構成されるあるDGLAの変形函手と同型であることを示している。主な貢献は、コhomologyにおける障害を制御する半正則性写像であり、ドメインまたはコドメインを固定する場合のKodaira-Spencer理論への一般化である。

ABSTRACT

We construct the deformation functor associated to a couple of morphisms of differential graded Lie algebras, and use it to study the infinitesimal deformations of a holomorphic map of compact complex manifolds. In particular, in the case of Kähler manifolds we describe a generalizzation of the semiregularity map.

研究の動機と目的

• 複素多様体の変形理論を微分 graded Lie 代数（DGLA）を用いて正則写像へと拡張すること。
• 正則写像の変形函手を定義し、その接空間と障害空間を特定すること。
• ドメインまたはコドメインを固定する変形における障害を制御する半正則性写像を一般化すること。
• 写像コーンを介して、正則写像の変形函手とDGLAの変形函手の間の同型を確立すること。
• 包含写像および対数的接接束のケースを分析し、多様体内の除数の変形を制御するDGLAを同定すること。

提案手法

• 複素多様体 $X$ に対して、Kodaira-Spencer代数として知られるDGLA $L = A^{0,*}(X, \Theta_X)$ を構成する。
• ゲージ同値を modulo するMaurer-Cartan方程式の解を用いて、変形函手 $\operatorname{Def}_L$ を定義する。
• 正則写像 $f: X \to Y$ に対して、$KS_X$ および $KS_Y$ からのDGLA準同型対 $(h,g)$ を構成し、写像コーン $L \times_M N$ を得る。
• 同型 $\operatorname{Def}_{(h,g)} \cong \operatorname{Def}(f)$ を用いて、$f$ の変形函手とDGLAの変形函手との関係を確立する。
• 包含写像 $i: X \hookrightarrow Y$ に対して、$I_X$ を $X$ の理想層とする半正則性写像 $\sigma: H^2(L') \to H^{p-1,p+2}(Y, I_X)$ を定義する。
• 拡張された変形函手およびファイバー積の理論を用いて、ドメインおよびコドメインを固定する変形を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則写像 $f: X \to Y$ の変形函手は、どのようにDGLAによって制御されるか？
• RQ2 正則写像 $f$ の変形函手 $\operatorname{Def}(f)$ の接空間および障害空間は何か？
• RQ3 コドメインを固定する正則写像の変形において、半正則性写像はどのように障害を制御するか？
• RQ4 部分多様体 $X \subset Y$ の包含写像の無限小変形を制御するDGLAは何か？
• RQ5 $H^1(X, \Theta_X(-\log D))$ および $H^2(X, \Theta_X(-\log D))$ のコhomology群は、$X$ 内の除数 $D$ の変形とどのように関係するか？

主な発見

• 正則写像 $f: X \to Y$ の変形函手 $\operatorname{Def}(f)$ は、$f_*$ および $f^*$ から誘導されるDGLA準同型対によって定まる、DGLA $(h,g)$ に関連する変形函手 $\operatorname{Def}_{(h,g)}$ と同型である。
• $\operatorname{Def}(f)$ の接空間は自然に $H^1(X, \Theta_X)$ に同型であり、障害空間は $H^2(X, \Theta_X)$ に含まれる。
• コンパクトKähler多様体 $Y$ 内の部分多様体 $X$ の包含写像 $i: X \hookrightarrow Y$ に対して、DGLA $L' = A^{0,*}(Y, \Theta_Y) \to A^{0,*}(X, N_{X|Y})$ が $i$ の変形を制御する。
• 包含写像の障害空間は、半正則性写像 $\sigma: H^2(L') \to H^{p-1,p+2}(Y, I_X)$ の核に含まれる。ここで $p = \dim Y - \dim X$ である。
• 多様体 $X$ 内の除数 $D = \bigcup D_i$ に対して、変形函手 $\operatorname{Def}_{X; D_1, \ldots, D_m}$ は $\operatorname{Def}_{L'}$ と同型であり、ここで $L' = A^{0,*}(X, \Theta_X(-\log D))$ である。
• 包含写像の半正則性写像は、理想 $I_X$ を保存する作用素のホモトピー類の複体へのDGLA準同型を介して構成され、コhomology的障害制御をもたらす。