[論文レビュー] Differential operators on G/U and the affine Grassmannian

Victor Ginzburg, Simon Riche|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、アフィングラスマンニアン上の等変コホモロジーの3つの実現——基本アフィン空間 G/U 上の D-モジュール、普遍ヴェルマモジュールの間隔作用素、および球的 perverse sheaf の等変コホモロジー——の同値性を確立する。主な貢献は、ラングランズ双対群の幾何と微分作用素および包あらゆる代数の漸近的リース代数を通じて統一される、これらの3つの構成の Weyl 群に可換な同型写像の構成である。

ABSTRACT

We describe the equivariant cohomology of cofibers of spherical perverse sheaves on the affine Grassmannian of a reductive algebraic group in terms of the geometry of the Langlands dual group. In fact we give two equivalent descriptions: one in terms of D-modules of the basic affine space, and one in terms of intertwining operators for universal Verma modules. We also construct natural collections of isomorphisms parametrized by the Weyl group in these three contexts, and prove that they are compatible with our isomorphisms. As applications we reprove some results of the first author and of Braverman-Finkelberg.

研究の動機と目的

• アフィングラスマンニアン上の球的 perverse sheaf の cofiber の等変コホモロジーをラングランズ双対群上の表現論的構造に関連付けること。
• これらのコホモロジー群の2つの同等の幾何的および代数的記述を提供すること：1つは基本アフィン空間 G/U 上の D-モジュールとして、もう1つは普遍ヴェルマモジュールの間隔作用素として。
• 3つの実現の間で Weyl 群作用が一致することを構成し、同型写像が Weyl-可換であることを示すこと。
• この統一的枠組みを通じてジンツブルグおよびブライヴァーマン–フィンケルバーグの結果を再証明・再解釈すること。

提案手法

• 著者らは、$\mathfrak{t} = \mathrm{Lie}(T)$ とし、$\hbar$ と $\mathfrak{t}$ がともに次数 2 となるように、リース代数 $\mathrm{S}_{\hbar} = \mathrm{S}(\mathfrak{t})[\hbar]$ 上の3つの次数付きモジュール族を定義する。
• 幾何的族 $\mathcal{M}^{\mathrm{geom}}_{V,\lambda}$ は、$V \otimes {}^{(\lambda)}\mathscr{D}_{\hbar}(G/U)$ の $G$-不変切断として構成され、ここで $\mathscr{D}_{\hbar}(G/U)$ は基本アフィン空間上のリース代数である。
• 代数的族 $\mathcal{M}^{\mathrm{alg}}_{V,\lambda}$ は、$\mathrm{Hom}_{(\mathrm{S}_{\hbar},U_{\hbar}(\mathfrak{g}))}(\mathbf{M}(0), V \otimes \mathbf{M}(\lambda))$ として定義され、$\mathbf{M}(\lambda)$ は漸近的普遍ヴェルマモジュールである。
• 位相的族 $\mathcal{M}^{\mathrm{top}}_{\mathcal{F},\lambda}$ は、$\mathsf{H}^{\bullet + \lambda(2\check{\rho})}_{{\check{T}} \times \mathbb{C}^\times}(i_\lambda^!\mathcal{F})$ として与えられ、ここで $\mathcal{F}$ はアフィングラスマンニアン上の $\check{G}(\mathbf{O})$-不変 perverse sheaf である。
• 著者らは、Weyl 群 $W$ でパrameter化される、これら3つの族の自然な同型写像を構成し、$\check{G}$ の $\check{T}$ の正規化群によって誘導される Weyl 群作用とその整合性を証明する。
• この構成は、微分作用素のリース代数のシンプレクティック双対性と、シンプレクティックベクトルバンドル $E$ に対して定義される $\mathscr{D}_{\hbar}(E)$ 上の自己同型 $\mathbf{F}_E$ に依存しており、$\mathbf{F}_E^2 = \mathrm{id}$ を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィングラスマンニアン上の球的 perverse sheaf の cofiber の等変コホモロジーは、どのようにラングランズ双対群の観点から記述できるか？
• RQ2 基本アフィン空間 $G/U$ 上の D-モジュール、普遍ヴェルマモジュールの間隔作用素、およびアフィングラスマンニアン上の位相的等変コホモロジーとの間の明確な関係は何か？
• RQ3 Weyl 群作用は、これらの3つの実現の間でどのように実現され、一致させられるか？
• RQ4 これらの3つの構成の間の同型写像は明示的に記述可能であり、Weyl-可換であることが示せるか？
• RQ5 これらの構成は、ジンツブルグおよびブライヴァーマン–フィンケルバーグの結果をどのように回復または再証明するか？

主な発見

• 幾何的、代数的、位相的の3つの $\mathrm{S}_{\hbar}$-モジュール族は、$\mathrm{S}_{\hbar}$-モジュールとして同型であり、Weyl 群作用と整合する。
• コホモロジー群上の Weyl 群作用は、$N_{\check{G}}(\check{T})$ がアフィングラスマンニアン上で作用することに由来し、この作用は3つの構成の間の同型写像へと持ち上がる。
• 幾何的族と代数的族の同型写像は、リース代数の微分作用素と普遍ヴェルマモジュールを含む、自然な $G$-不変ペアリングによって与えられる。
• 位相的族 $\mathcal{M}^{\mathrm{top}}_{\mathcal{F},\lambda}$ は自然に $\mathrm{S}_{\hbar}$-モジュールであり、$\lambda(2\check{\rho})$ だけ次数がずれており、他の2つと同型である。
• シンプレクティックベクトルバンドル $E$ に対して $\mathscr{D}_{\hbar}(E)$ 上に定義される自己同型 $\mathbf{F}_E$ は、$\mathbf{F}_E^2 = \mathrm{id}$ を満たし、基底上の可逆関数の乗算と可換であり、重要な技術的道具である。
• 本稿は、ジンツブルグおよびブライヴァーマン–フィンケルバーグの結果を、この統一的枠組みの特殊な場合として示すことにより再証明する。