[論文レビュー] Equivariant Coherent Sheaves, Soergel Bimodules, and Categorification of Affine Hecke Algebras

Christopher Stephen Dodd|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、Sörgel bimoduleを通じて、Grothendieckの解体における等変な連接層とカテゴリカルなアフィンヘッケ代数の間の圏的同値性を確立し、Kazhdan-Lusztigの幾何的構成を一般化する。また、これらの層の圏における弱い braid 群作用が厳密な作用にアップグレード可能であることを証明し、より洗練された代数的構造を持つアフィンヘッケ代数のカテゴリフィケーションを提供する。

ABSTRACT

We give a description of certain categories of equivariant coherent sheaves on Grothendieck's resolution in terms of the categorical affine Hecke algebra of Soergel. As an application, we deduce a relationship of these coherent sheaf categories to the categories of perverse sheaves considered in the work of Bezrukavnikov-Yun, generalizing results of Arkhipov-Bezrukavnikov. In addition, we deduce that the weak braid group action on sheaves of Riche and Bezrukavnikov-Riche can be upgraded to a strict braid group action.

研究の動機と目的

• Grothendieckの解体上の等変な連接層を用いた、アフィンヘッケ代数の幾何的カテゴリフィケーションを確立すること。
• Sörgel bimoduleを介して、等変な連接層の圏とカテゴリカルなアフィンヘッケ代数の圏を関連させること。
• 連接層の圏における弱い braid 群作用を、厳密な braid 群作用にアップグレードすること。
• Kazhdan-Lusztigの同値性をアフィン設定に一般化し、 perverse sheaf 圏と結びつけること。
• 連接層における perversely exotic t-構造が、Dwork-Weil設定における perverse t-構造の心に対応することを示すこと。

提案手法

• G×Gm-等変な連接層の導来圏から、カテゴリカルなアフィンヘッケ代数上の次数付き加群の導来圏への関手 κ を構成する。
• Kostant-Whittaker 減少を用いて、強化された冪零錐の幾何と Sörgel bimodule の構造を関連付ける。
• 旗多様体とその解体における変形理論を適用し、形式的パラメータ h を導入して、D_h-加群および強化解体上の連接層の圏を定義する。
• 変形された反射関手をカーネルとするFourier-Mukai変換を用いて、導来圏上の braid 群作用を構成する。
• 特に perversely exotic t-構造を含む、tilting生成子と t-構造の存在を活用し、圏を制御し、同値性を証明する。
• 関手 κ と畳み込みとの整合性を用いて、異なる braid 語の畳み込み分解間の同型を優先的に構成することで、braid 群作用が弱いものから厳密なものに持ち上がることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、Grothendieckの解体上の等変な連接層を用いて、アフィンヘッケ代数をカテゴリフィケーションできるか？
• RQ2 等変な連接層の圏と Sörgel のカテゴリカルなアフィンヘッケ代数の間の正確な関係は何か？
• RQ3 連接層の圏における弱い braid 群作用を、厳密な braid 群作用にアップグレードできるか？
• RQ4 連接層における perversely exotic t-構造は、Dwork-Weil の perverse sheaf における t-構造とどのように関係するか？
• RQ5 Kostant-Whittaker 減少関手 κ は、カテゴリカル構造をどれだけ保存し、同値性を誘導するのか？

主な発見

• 関手 κ は、強化された冪零錐上の G×Gm-等変な連接層の導来圏と、カテゴリカルなアフィンヘッケ代数上の次数付き加群の導来圏との間に同値を誘導する。
• 連接層の圏における弱い braid 群作用は、異なる畳み込み分解間の同型が自然かつ関手的であることを通じて、厳密な braid 群作用に持ち上がる。
• 連接層の圏における perversely exotic t-構造は、Dwork-Weil設定における perverse t-構造の心に対応し、予想された同値性を確認する。
• Kostant-Whittaker 減少関手 κ は braid 群作用を保存し、Sörgel bimodule の目標圏に厳密な作用を誘導する。
• 本研究で構成された同値性は、[AB] と対象で一致し、tilting sheaf による畳み込みを通じた perverse sheaf における braid 群作用は、連接層から持ち上がった作用と同型である。
• 強化された旗多様体上の D_h-加群の導来圏には、厳密な braid 群作用が存在し、制限により非次数付き圏へ拡張可能である。