[論文レビュー] Diffusion along chains of normally hyperbolic cylinders

Marian Gidea, Jean-Pierre Marco|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2017

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、境界を持つ3次元のねじれのない通常双曲的円筒を用いたチェーンに沿って、3自由度のハミルトニアン系におけるアーノルド拡散の存在を示す幾何的機構を確立する。この方法は、傾き付き写像と不変多様体を用い、λ-lemmとポincare再帰に基づくシャドーイング論法により、位相空間の所定の領域を通過する軌道の拡散を保証する。

ABSTRACT

We develop a geometric mechanism to prove the existence of orbits that drift along a prescribed sequence of cylinders, under some general conditions on the dynamics. This mechanism can be used to prove the existence of Arnold diffusion for large families of perturbations of Tonelli Hamiltonians on $\mathbb{A}^3$. Our approach can also be applied to more general Hamiltonians that are not necessarily convex. The main geometric objects in our framework are $3$-dimensional invariant cylinders with boundary (not necessarily hyperbolic), which are assumed to admit center-stable and center-unstable manifolds. These enable us to define chains of cylinders, i.e., finite, ordered families of cylinders where each cylinder admits homoclinic connections, and any two consecutive cylinders in the chain admit heteroclinic connections. Our main result is on the existence of diffusing orbits which drift along such chains of cylinders, under precise conditions on the dynamics on the cylinders -- i.e., the existence of Poincaré sections with the return maps satisfying a tilt condition -- and on the geometric properties of the intersections of the center-stable and center-unstable manifolds of the cylinders -- i.e., certain compatibility conditions between the tilt map and the homoclinic maps attached to its essential invariant circles. We give two proofs of our result, a very short and abstract one, and a more constructive one, aimed at possible applications to concrete systems.

研究の動機と目的

• 非凸かつ事前安定なハミルトニアン系におけるアーノルド拡散の証明のための一般的な幾何的機構の開発。
• 「ねじれのない円筒」を導入することで、厳密な凸性を要しない可積分部の拡散理論を拡張する。
• ホモクラインおよびヘタロクライン接続を通じて、所定の円筒列に沿って拡散軌道が移動する条件を確立する。
• 凸および非凸のトネリハミルトニアンに適用可能なフレームワークを提供し、既存の拡散結果の適用範囲を広げる。
• 動的系の次元を2次元の帰還写像に還元し、傾き条件を満たす写像を導入することで、既存の手法を統合・一般化する。

提案手法

• 境界を持つ3次元のコンパクトで不変な円筒として「ねじれのない円筒」を定義し、中心安定多様体および中心不安定多様体を備える。
• 連続する円筒がヘタロクライン軌道で接続され、各円筒がその漸近的多様体を通じてホモクライン接続を持つ円筒チェーンを導入する。
• 各円筒上での運動をポincare断面を用いて2次元の帰還写像に還元し、写像が「傾き条件」を満たすものと仮定する（ねじれ条件ではなく）。
• 傾き写像に対する一般化されたバーゲル理論を用い、円筒チェーンに沿って擬似軌道を構成する。
• λ-lemmとポincare再帰を用いて、これらの擬似軌道が実際に存在する軌道によってシャドーイング可能であることを証明し、真の拡散軌道の存在を保証する。
• 2通りの証明を提供：抽象的で簡潔な証明と、具体的な力学系への応用に適した構成的証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸ハミルトニアン系において、円筒チェーンに沿って拡散軌道が存在することを示すために必要な幾何的および力学的条件は何か？
• RQ2 中心安定多様体および中心不安定多様体が良好に定義された非凸的でねじれのない境界付き円筒を含む、通常双曲的円筒の概念をどのように一般化できるか？
• RQ3 中心安定多様体と中心不安定多様体の交差性が、チェーン内の連続する円筒間の拡散を可能にする役割を果たすか？
• RQ4 帰還写像に「傾き条件」が満たされる限り、より強い「ねじれ条件」を仮定しなくても、拡散軌道の存在を確立できるか？
• RQ5 この機構は、必ずしも凸でないトネリハミルトニアンにどの程度まで適用可能か？

主な発見

• 本稿は、境界を持つ3次元のねじれのない通常双曲的円筒の所定のチェーンに沿って拡散する軌道の存在を確立する。
• 拡散の鍵となる条件は、帰還写像が「傾き条件」を満たすPoincaré断面の存在であり、これはねじれ写像仮定の一般化である。
• この機構は、中心安定多様体と中心不安定多様体の交差性によって実現されるホモクラインおよびヘタロクライン接続に依存している。
• λ-lemmとポincare再帰に基づくシャドーイング論法により、傾き写像力学に基づいて構成された擬似軌道が、実際に存在する軌道によって近似可能であることが保証される。
• このフレームワークは、$\mathbb{A}^3$ 上のトネリハミルトニアンの広い族の摂動に適用可能であり、非凸の場合も含む。
• 2通りの証明が提供されている：1つは抽象的で簡潔な証明、もう1つは具体的な力学系への応用に適した構成的証明。