[論文レビュー] Diffusion and Self-Organized Criticality in Ricci Flow Evolution of Einstein and Finsler Spaces

Sergiu I. Vacaru|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

Advanced Differential Geometry Research参考文献 42被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非ホロノミック（アインシュタインおよびフィンスler）幾何における確率的リッチフローの進化を厳密な数学的枠組みで定式化し、非線形拡散方程式に対する一意的かつ正の解の存在を証明する。非可積分的制約を導入することで、重力系における自己組織的臨界性を示し、統計的熱力学的類似性を用いて曲率の進化を非リーマン的時空におけるエントロピーおよびエネルギー関数と関連付ける。

ABSTRACT

Imposing non-integrable constraints on Ricci flows of (pseudo) Riemannian metrics we model mutual transforms to, and from, non-Riemannian spaces. Such evolutions of geometries and physical theories can be modelled for nonholonomic manifolds and vector/ tangent bundles enabled with fundamental geometric objects determining Lagrange-Finsler and/or Einstein spaces. Prescribing corresponding classes of generating functions, we construct different types of stochastic, fractional, nonholonomic etc models of evolution for nonlinear dynamical systems, exact solutions of Einstein equations and/or Lagrange-Finsler configurations. The main result of this paper consists in a proof of existence of unique and positive solutions of nonlinear diffusion equations which can be related to stochastic solutions in gravity and Ricci flow theory. This allows us to formulate stochastic modifications of Perelman's functionals and prove the main theorems for stochastic Ricci flow evolution. We show that nonholonomic Ricci flow diffusion can be with self-organized critical behavior, for gravitational and Lagrange-Finsler systems, and that a statistical/ thermodynamic analogy to stochastic geometric evolution can be formulated.

研究の動機と目的

• 重力およびフィンスラーギャージュアリティにおける確率的および非線形拡散効果を統合する非可換リッチフローの幾何的形式主義を構築すること。
• リッチフロー進化に非可積分的制約を課すことにより、自己組織的臨界性を示す重力系をモデル化すること。
• ペレルマンの関数を確率的・非可換的設定に拡張し、その単調性および物理的整合性を確立すること。
• 非リーマン的時空における非線形拡散過程の統計的熱力学的類似性を定式化すること。
• 非可換多様体上のリッチフローから導かれる確率的拡散方程式の解の存在および正値性を証明すること。

提案手法

• 非線形接続およびN接続を用いて非可換幾何を構築し、アインシュタインおよびフィンスルースペースをモデル化する。
• リッチフローに非可積分的制約を課し、計量および接続の確率的進化を生成する。
• フォッカー＝プランク方程式（前方コルモゴロフ方程式）を用いて、非可換多様体上での確率的拡散方程式を導出する。
• ペレルマンのW関数の確率的修正を導入し、式 (30)–(31) に従って進化するτパラメータを定義する。
• N適応微分幾何を用いて、確率的リッチフロー方程式における標準的d接続および曲率項を定義する。
• 分割関数、エントロピーS、エネルギー⟨E⟩、揺らぎσを用いた熱力学的類似性を確立し、関数 Z = exp(∫[−f̂ + n]μ dV) を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アインシュタインおよびフィンスルースペースにおけるリッチフロー進化の非線形拡散方程式は、非可換的制約下で一意的かつ正の解を有するか？
• RQ2 ペレルマンの関数は、単調性および幾何的整合性を保ちつつ、確率的・非可換的リッチフローに一般化可能か？
• RQ3 非可換的リッチフローは、重力系においてどのような条件下で自己組織的臨界性を示すか？
• RQ4 確率的リッチフロー進化の統計的熱力学的解釈は、エントロピー、エネルギー、揺らぎの観点からどのように定式化されるか？
• RQ5 N適応標準的d接続および曲率項は、確率的幾何系の熱力学的挙動にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿は、非可換多様体上の確率的リッチフローから生じる非線形拡散方程式に対して、一意的かつ正の解の存在を証明する。
• ペレルマンのW関数の確率的修正を構築し、式 (30) および (31) に従って進化させ、非可換的制約下でも単調性を保証する。
• リッチフローの進化は自己組織的臨界性を示し、臨界点が重力場の確率的幾何的進化におけるアトラクタとして機能する。
• 統計的熱力学的類似性が確立され、系のエネルギー、エントロピー、揺らぎは、曲率、接続項、関数f̂を含む積分によって明示的に計算可能である。
• 熱力学的値は明示的な式で与えられる：式 (32) における⟨E⟩はスカラー曲率R、S項、f̂の勾配ノルムに依存する。エントロピーSおよび揺らぎσは、リッチソリトン条件からの曲率のずれに依存して表現される。
• N適応標準的d接続は、エントロピー差の符号に応じて、リーマン・チェビシェフ接続よりも熱力学的により好都合またはやや不利益な状態をもたらす。