[論文レビュー] Nonholonomic Ricci Flows and Parametric Deformations of the Solitonic pp--Waves and Schwarzschild Solutions

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|May 5, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 34被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、非ホロノミックリッチフローと非可換フレーム法を用いた幾何的枠組みを提案し、一般相対性理論およびストリング理論におけるソリトン的pp波解および変形されたシュバルツシルト解の多パラメータ正確解を構築する。一般化された非対角的計量とパラメトリック変形を活用することで、非線形重力相互作用、宇宙定数、有効なねじれ場をモデル化する可積分系を生成し、隠れた対称性とソリトン的挙動を示すリッチフロー進化下の時空の記述に新たな手法を提供する。

ABSTRACT

We study Ricci flows of some classes of physically valuable solutions in Einstein and string gravity. The anholonomic frame method is applied for generic off-diagonal metric ansatz when the field/ evolution equations are transformed into exactly integrable systems of partial differential equations. The integral varieties of such solutions, in four and five dimensional gravity, depend on arbitrary generation and integration functions of one, two and/ or three variables. Certain classes of nonholonomic frame constraints allow us to select vacuum and/or Einstein metrics, to generalize such solutions for nontrivial string (for instance, with antisymmetric torsion fields) and matter field sources. A very important property of this approach (originating from Finsler and Lagrange geometry but re-defined for semi-Riemannian spaces) is that new classes of exact solutions can be generated by nonholonomic deformations depending on parameters associated to some generalized Geroch transforms and Ricci flow evolution. In this paper, we apply the method to construct in explicit form some classes of exact solutions for multi-parameter Einstein spaces and their nonholonomic Ricci flows describing evolutions/ interactions of solitonic pp-waves and deformations of the Schwarzschild metric. We explore possible physical consequences and speculate on their importance in modern gravity.

研究の動機と目的

• 非ホロノミック制約下でのリッチフロー進化における重力理論における正確解を構築する一般幾何的手法の開発。
• 非可換フレーム法を、パラメトリック変形とリッチフローのパラメータを含める形に拡張し、多パラメータ解を生成する。
• 非対角的計量の仮定を用いて、非線形重力相互作用、有効な宇宙定数、ストリング理論由来のねじれ場をモデル化する。
• 非ホロノミック変形下での多パラメータ解の物理的解釈、特にソリトン的挙動と隠れたキリング対称性の探求。
• 真空解およびアインシュタイン解を、5次元重力におけるリッチフロー進化と追加次元の偏光を含む形に一般化する。

提案手法

• 座標変換では単純化できない非対角的可換でない時空をモデル化するため、一般化された非対角的計量の仮定を用いる。
• 非可換フレーム法を適用し、アインシュタイン方程式およびリッチフロー方程式を正確に可積分な偏微分方程式系に変換する。
• ゲロッホ型変換とフレーム変形を組み合わせたパラメトリック非ホロノミック変換を導入し、多パラメータ解を生成する。
• d接続とN接続構造を用いて、非ホロノミック多様体における非線形接続および曲率を定義する。
• 反対称H場と、標準的d接続から導かれる有効なねじれテンソルを用いて、ストリング重力補正を組み込む。
• d形式論法とN適応微分形式を用い、双対的かつ幾何学的に一貫した方法でねじれと曲率を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ホロノミック制約とパラメトリック変形は、一般相対性理論およびストリング理論におけるリッチフローの正確解をどのように生成するか？
• RQ2 ソリトン的pp波解およびシュバルツシルト解の非ホロノミック変形において、隠れたキリング対称性が果たす役割は何か？
• RQ3 非対角的計量と非自明なN接続は、リッチフロー解の可積分性および物理的解釈にどのように影響を与えるか？
• RQ4 ストリング理論由来のねじれ場と有効な宇宙定数は、非ホロノミック幾何的構造からどのように生じるか？
• RQ5 リッチフローのパラメータが時間的座標または追加次元の座標として機能する多パラメータ解を構築可能か？

主な発見

• 本稿は、非ホロノミックリッチフローとパラメトリックフレーム変形を用いて、ソリトン的pp波解および変形されたシュバルツシルト解の明示的多パラメータ正確解を構築した。
• 非ホロノミック制約により、ストリング重力補正から生じる非自明なねじれおよび有効な宇宙定数を有する真空中解およびアインシュタイン解を生成可能である。
• 本手法により、任意の生成関数および積分関数（1〜3変数）に依存する一般化された非対角的計量から可積分系を構築可能であり、その依存関係を保持する。
• パラメトリック非ホロノミック変換により、ゲロッホ型解とフレーム変形が重畳され、リッチフロー進化下で新たなソリトン的配置が得られる。
• 非ホロノミック時間およびフロー座標に依存するパラメータを有する5次元解が導出され、異方的偏光および追加次元効果を示唆する。
• 本フレームワークは、d接続形式論法とN適応微積分を用いて、リッチフロー進化、ソリトン的挙動、有効場理論の幾何的統合を支援する。