[論文レビュー] Nonholonomic Ricci Flows: Exact Solutions and Gravity

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|May 5, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非ホロノミックなフレーム変形とパラメトリック変換を用いて、非ホロノミックなリッチフローおよびアインシュタイン方程式の正確な解を構成する幾何的枠組みを提示する。非線形接続とキリングベクトル場を活用することで、非一様な宇宙定数を伴う無限パラメータ族の解が得られ、4次元および5次元時空における新しいクラスの真空解および重力解の構成が可能になる。

ABSTRACT

In a number of physically important cases, the nonholonomically (nonintegrable) constrained Ricci flows can be modelled by exact solutions of Einstein equations with nonhomogeneous (anisotropic) cosmological constants. We develop two geometric methods for constructing such solutions: The first approach applies the formalism of nonholonomic frame deformations when the gravitational evolution and field equations transform into systems of nonlinear partial differential equations which can be integrated in general form. The second approach develops a general scheme when one (two) parameter families of exact solutions are defined by any source-free solutions of Einstein's equations with one (two) Killing vector field(s). A successive iteration procedure results in a class of solutions characterized by an infinite number of parameters for a non-Abelian group involving arbitrary functions on one variable. We also consider nonlinear superpositions of some mentioned classes of solutions in order to construct more general integral varieties of the Ricci flow and Einstein equations depending on infinite number of parameters and three/ four coordinates on four/ five dimensional (semi) Riemannian spaces.

研究の動機と目的

• 非ホロノミックなリッチフローの正確な解を構成する幾何的手法の開発。
• 非可積分な制約（非ホロノミックな制約）を、非線形接続構造を用いてリッチフローの進化にモデル化する。
• 任意関数を含むパラメトリック族の解を導入することで、真空解およびアインシュタイン解を一般化する。
• キリングベクトル場とゲロッホ方程式に基づく反復的パラメトリック変換を用いて、既知の解を拡張する。
• 非ホロノミックなフレームおよび接続の変形を通じて、フィンスラー型幾何とリーマン幾何を統一する。

提案手法

• アノラニックフレーム法を適用し、カルタン構造方程式、リッチフロー、アインシュタイン方程式を可積分な偏微分方程式系に変換する。
• 非対角的計量の仮定を用いて、リッチフローおよび重力場の非線形偏微分方程式を分離・解く。
• ゲロッホ方程式およびキリングベクトルの対称性に基づく二パラメータおよび多パラメータ変換を用いる。
• ゲロッホ方程式の解に依存する行列 $\widetilde{B}_{\alpha}^{\ \alpha'}$ を用いたパラメトリックフレーム変換を導入する。
• 反復的パラメトリック変換の逐次的適用により、無限パラメータ族の正確な解を構成する。
• 非アーベル的対称性構造および1変数の任意関数を有する4次元および5次元の半リーマン多様体にこの形式を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ホロノミックな制約は、非一様な宇宙定数を伴うアインシュタイン方程式の正確な解を用いて、どのようにリッチフローにモデル化できるか？
• RQ2 非ホロノミックなフレーム変形と非線形接続を用いて正確な解を構成するための幾何的枠組みは何か？
• RQ3 キリングベクトル場に基づくパラメトリック変換は、リッチフローおよび重力理論において、どのように無限パラメータ族の解を生成するか？
• RQ4 ゲロッホ方程式は、真空解のパラメトリック変形の整合性条件として、どのように機能するか？
• RQ5 解のクラスの非線形重ね合わせは、高次元におけるリッチフローおよびアインシュタイン方程式のより一般な積分多様体をもたらすか？

主な発見

• 本稿は、非ホロノミックなフレーム変形を用いて、非ホロノミックなリッチフローおよびアインシュタイン方程式の正確な解を構成し、方程式を可積分な偏微分方程式系に変換する。
• Gerochの方程式を満たすとき、$\xi_\alpha$、$\alpha_\tau$、および $\mu_\tau$ が特定の微分的および代数的条件を満たす場合、$\ _{\shortmid}\widetilde{\mathcal{E}}=0$ を満たす真空解のクラスが得られる。
• パラメトリック変換 $\widetilde{B}_{\alpha}^{\ \alpha'}(u,\theta)$ は、初期の真空時空 $(V,\ _{\shortmid}^\circ g,\xi_\alpha)$ から、非ホロノミック変形の下でも真空条件を保つ解の族を生成する。
• 解は関数 $\widetilde{\lambda}$、$\mu_\tau$、および $\theta$ によって明示的にパラメータ化され、$\widetilde{\lambda}$ は $\lambda$、$\omega$、および $\theta$ に依存し、リーマン接続との整合性を保証する。
• 特に、可換なキリングベクトル場を有する解から出発する場合、二パラメータ変換の反復的適用により、無限パラメータ族の解が得られる。
• 解のクラスの非線形重ね合わせは、4次元および5次元の半リーマン多様体におけるリッチフローおよびアインシュタイン方程式のより一般な積分多様体をもたらす。