[論文レビュー] Dimension of invariant measures for affine iterated function systems

De‐Jun Feng|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 61被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{R}^d$ 上のアフィン反復関数系（IFS）の任意のエルゴディック不変測度が、局所次元が存在し、$\mu$-ほとんど everywhere で一定であるという意味で正確次元的であることを確立している。主な結果は、平均収縮条件の下で、このような測度のハウスドルフ次元に対するレドリャッパー＝ヤング型の公式であり、フラクタル幾何学における長年の未解決問題を解決している。

ABSTRACT

Let $\{S_i\}_{i\in Λ}$ be a finite contracting affine iterated function system (IFS) on ${\Bbb R}^d$. Let $(Σ,σ)$ denote the two-sided full shift over the alphabet $Λ$, and $π:Σ o {\Bbb R}^d$ be the coding map associated with the IFS. We prove that the projection of an ergodic $σ$-invariant measure on $Σ$ under $π$ is always exact dimensional, and its Hausdorff dimension satisfies a Ledrappier-Young type formula. Furthermore, the result extends to average contracting affine IFSs. This completes several previous results and answers a folklore open question in the community of fractals. Some applications are given to the dimension of self-affine sets and measures.

研究の動機と目的

• アフィン IFS における任意のエルゴディック不変測度が正確次元的であるかどうかという、フラクタル幾何学における長年の未解決問題を解消すること。
• 平均収縮条件の下で、不変測度のハウスドルフ次元に対するレドリャッパー＝ヤング型の次元公式を確立すること。
• 古典的な自己相似の場合を越えて、自己同相的集合および測度の次元理論を拡張すること。
• リャプノフ指数とエントロピーを用いて、不変測度の次元を完全に特徴付けること。これは、以前の結果を一般化する。

提案手法

• 不変測度 $m$ をシフト空間 $\Sigma = \Lambda^{\mathbb{Z}}$ 上から $\mathbb{R}^d$ 上の不変測度 $\mu = \pi_*m$ に持ち上げるために、標準的コーディング写像 $\pi: \Sigma \to \mathbb{R}^d$ を用いる。
• フルステンベルク＝ケステンの定理およびキングマンの部分加法的エルゴディック定理を適用し、$m$-ほとんど everywhere での上位リャプノフ指数 $\lambda(x)$ の存在を保証する。
• 上位リャプノフ指数 $\lambda(x)$ が厳密に負であることで定義される平均収縮 IFS の概念を用い、コーディングと測度の押し出しの整合性を保証する。
• 正確次元的理論および局所次元、エントロピー、リャプノフ指数の関係を用いて、次元公式を導出する。
• 幾何測度論の結果を応用し、特に補題 8.3 を用いた射影のハウスドルフ次元の推定およびグラスマン多様体上のファイバー集合の次元を用いる。
• エントロピー $h_m(\sigma)$ とリャプノフ指数 $\lambda_i$ の相対関係に基づく場合分けを用い、背理法とグラスマン多様体上の集合の次元の上限を用いて、各場合において次元公式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン IFS が $\mathbb{R}^d$ 上に作用するとき、その任意のエルゴディック不変測度は正確次元的か？
• RQ2 アフィン IFS の設定において、不変測度のハウスドルフ次元に対するレドリャッパー＝ヤング型の公式を確立できるか？
• RQ3 この次元公式は、下位のシフト測度のリャプノフ指数および幾何的エントロピーに依存するか？
• RQ4 射影測度の次元とその部分空間への射影の次元の関係は何か？
• RQ5 エントロピー、リャプノフ指数、自己同相的測度の次元の間の正確な関係は何か？

主な発見

• 平均収縮アフィン IFS に対して、$\mu = \pi_*m$ である任意のエルゴディック不変測度 $\mu$ は正確次元的であり、$\mu$-ほとんど everywhere で $\dim_{\rm loc}(\mu,x)$ が存在し、定数である。
• 測度 $\mu$ のハウスドルフ次元は、レドリャッパー＝ヤング型の公式を満たす：$\dim_{\rm H}\mu = \dim_{\rm LY}(m, {\bf M})$ であり、ここで $\dim_{\rm LY}(m, {\bf M})$ はエントロピーとリャプノフ指数を用いて定義されるリャプノフ次元である。
• この結果は、両側シフトおよび片側シフトの両方に対して成り立ち、次元公式の有効範囲をより広い種類の不変測度に拡張する。
• 証明では、エントロピー $h_m(\sigma)$ に基づく場合分けを行い、グラスマン多様体上の集合の次元の上限を用いて、背理法により $\dim_{\rm H}\mu = \dim_{\rm LY}(m, {\bf M})$ が成り立つことを示した。
• 本稿は、アフィン IFS の設定における不変測度の正確次元的性に関する「フォークロア的」未解決問題を完全に解決した。
• 応用として、強い分離条件や開集合条件が成り立たない場合の自己同相的集合および測度の新しい次元推定が得られる。