[論文レビュー] Dimension of locally and asymptotically self-similar spaces

Sergei Buyalo, Nina Lebedeva|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は2つの双対的結果を確立する：コンパクトで局所自己相似な距離空間の容量次元はその位相次元に等しく、コンパクト空間に漸近的に似た空間の漸近次元は、そのコンパクト空間の位相次元に等しい。これらの結果により、グロモフの双曲群の漸近次元に関する予想が解決され、積の漸近次元が個々の次元の和よりも厳密に小さい最初の例が構成される。

ABSTRACT

We obtain two in a sense dual to each other results: First, that the capacity dimension of every compact, locally self-similar metric space coincides with the topological dimension, and second, that the asymptotic dimension of a metric space, which is asymptotically similar to its compact subspace coincides with the topological dimension of the subspace. As an application of the first result, we prove the Gromov conjecture that the asymptotic dimension of every hyperbolic group G equals the topological dimension of its boundary at infinity plus 1, asdim G=dim(dG)+1. As an application of the second result, we construct Pontryagin surfaces for the asymptotic dimension, in particular, those are first examples of metric spaces X, Y with asdim(X x Y)

研究の動機と目的

• 距離空間における局所的自己相似性と漸近的自己相似性、次元論の間の双対性を確立すること。
• 双曲群の漸近次元がその無限遠境界の位相次元に1を加えたものに等しいというグロモフの予想を解決すること。
• 積の漸近次元が個々の漸近次元の和よりも厳密に小さい新しい例を構成すること。
• 自己相似および漸近的に自己相似な空間における容量次元、漸近次元、位相次元の関係を明確にすること。

提案手法

• 距離空間における局所的および漸近的類似性を形式化するため、λ-準同相似写像の概念を導入する。
• 主要な不変量として容量次元（cdim）と漸近次元（asdim）を用い、cdim ≥ dim であり、asdim は大規模幾何を捉える。
• 空間がコンパクト空間 Y に局所的に類似している場合、その空間の cdim は dim Y に等しくなることを証明し、コンパクトで局所的に自己相似な空間に対して cdim = dim が成り立つことを導く。
• 空間 X がコンパクト空間 Y に漸近的に類似している場合、asdim X = dim Y が成り立つことを証明する。
• 双曲群の境界に応用して、cdim(∂∞G) = dim(∂∞G) を示し、これにより asdim G = dim(∂∞G) + 1 が得られる。
• 自己相似多面体の逆極限を用いて漸近的に自己相似なポンティャーギン面 Π̂ を構成し、それがコンパクトな自己相似空間に漸近的に類似していることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトで局所的に自己相似な距離空間の容量次元は、その位相次元に等しいか？
• RQ2 コンパクト空間 Y に漸近的に類似した空間の漸近次元は、Y の位相次元に等しいか？
• RQ3 双曲群 G の漸近次元は、その無限遠境界の位相次元に1を加えたものに等しいか？
• RQ4 積の漸近次元が個々の漸近次元の和よりも厳密に小さい距離空間を構成できるか？
• RQ5 距離空間における自己相似性、容量次元、漸近次元の関係は何か？

主な発見

• 任意のコンパクトで局所的に自己相似な距離空間 Z について、その容量次元は位相次元に等しい。すなわち、cdim Z = dim Z が成り立つ。
• コンパクト空間 Y に漸近的に類似した距離空間 X について、その漸近次元は Y の位相次元に等しい。すなわち、asdim X = dim Y が成り立つ。
• 任意の双曲群 G について、その漸近次元はその無限遠境界の位相次元に1を加えたものに等しい。すなわち、asdim G = dim ∂∞G + 1 が成り立つ。
• 任意の双曲群の無限遠境界 ∂∞G に視覚的距離を導入した場合、その容量次元は位相次元に等しい。すなわち、cdim ∂∞G = dim ∂∞G が成り立つ。
• asdim(X × Y) < asdim X + asdim Y を満たす距離空間 X と Y が存在し、これは漸近次元の積の定理における最初の既知の厳密な不等式の例である。
• 逆極限によって構成された漸近的に自己相似なポンティャーギン面 Π̂ は、そのコンパクトモデル Π に漸近的に類似しており、asdim Π̂ = 2 を満たす。一方、異なる素数 p, q に対して、asdim(Π̂_p × Π̂_q) = 3 < 2 + 2 = 4 が成り立つ。