[論文レビュー] Dirac fundamental quantization of gauge theories is natural way of reference frames in modern physics

Lantsman, Leonid|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2006

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 18被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、現代物理学における参照枠の自然な枠組みとして、ゲージ理論のディラックによる基本的量子化を提唱し、束縛状態や閉じ込めの研究において、ファドデエフ＝ポポフのヒューリスティックな手法よりも、明示的なローレンツ共変性を保ち、より優れた性能を示すことを示している。ミンコフスキー空間における非アーベル・ヒッグス模型を用いて、制約殻還元と非局所的ディラック変数を介して、S共変かつG不変な物理的観測可能性を実現する方法を示し、S不変ではあるがフレームに依存するFP手法に比べ、より包括的な基礎を提供している。

ABSTRACT

We analyse two principal approaches to the quantization of physical models worked out to date. There are the Faddeev-Popov "heuristic" approach, based on fixing a gauge in the FP path integrals formalism, and the "fundamental" approach by Dirac based on the constraint-shell reduction of Hamiltonians with deleting unphysical variables. The relativistic invariant FP "heuristic" approach deals with the enough small class of problems associated with S-matrices squared taking on-shell of quantum fields. On the other hand, the "fundamental" quantization approach by Dirac involves the manifest relativistic covariance of quantum fields survived the constraint-shell reduction of Hamiltonians. This allows to apply this approach for the more broad class of problems than studying S-matrices. Researches about various bound states in QED and QCD are patterns of such applications. In the present study, with the example of the Dirac "fundamental" quantization of the Minkowskian non-Abelian Higgs model (us studied in its historical retrospective), we make sure in obvious advantages of this quantization approach. The arguments in favour of the Dirac fundamental quantization of physical model as a way of Einstein and Galilei relativity in modern physic will be presented.

研究の動機と目的

• ディラックの基本的量子化が現代理論物理学における基礎的役割を再評価し、支配的であるファドデエフ＝ポポフのヒューリスティックな手法と対比すること。
• 制約殻還元と非局所的ディラック変数を用いて、ディラックの手法が明示的ローレンツ共変性（S共変性）とゲージ不変性（G不変性）を保つことを示すこと。
• ファドデエフ＝ポポフ手法がS行列計算には有効であるが、QEDおよびQCDにおける束縛状態、ハドロン化、閉じ込めの研究には不十分であることを主張すること。
• ミンコフスキー空間におけるヒッグス模型のディラック量子化が、BPSモノポール解と離散的真空幾何を自然に組み込み、質量ギャップ問題への道筋を提供すること。
• ディラックの手法がアインシュタインおよびガリレオの相対性理論の歴史的かつ論理的な継承者として位置づけられ、量子場理論における物理的に意味のある参照枠の枠組みを提供すること。

提案手法

• ゲージ理論のハミルトニアン形式にディラックの制約殻還元を適用し、第一級制約を用いて物理的でない自由度を除去すること。
• ゲージ不変性を最初から保証する、ゲージ場のG不変で非局所的な関数形（ディラック変数）を構築し、物理的観測可能性を符号化すること。
• G不変な観測量に作用するポincare生成子のS共変性を証明し、暗黙のローレンツ共変性を確立すること。
• 具体的な例としてミンコフスキー空間における非アーベル・ヒッグス模型を用い、BPSモノポール解とそれによる離散的真空幾何を分析すること。
• 有効ヒッグス質量 $ m/\sqrt{\lambda} $ を距離 $ r $ の連続関数として扱い、その renormalization group フローと、赤方偏移および紫外限界を関連付けること。
• 相関関数の崩壊を用いて質量ギャップ問題を定式化する：$ |\langle \Omega, \mathcal{O}(x)\mathcal{O}(y) \Omega \rangle| \leq \exp(-C|x-y|) $ であり、$ |x-y| $ が大きい場合に成り立ち、ディラック量子化が真空構造を介してその分析を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜファドデエフ＝ポポフのヒューリスティックな量子化手法は、QEDおよびQCDにおける束縛状態や閉じ込めの研究に不十分なのか？
• RQ2 ディラックの基本的量子化は、FP手法と比較して、どのように明示的ローレンツ共変性とゲージ不変性を保っているのか？
• RQ3 非局所的ディラック変数は、ゲージ理論におけるS共変かつG不変な観測量を構築する上で果たす役割は何か？
• RQ4 ミンコフスキー空間におけるヒッグス模型をディラックの手法で量子化すると、質量ギャップ問題および有効ヒッグス質量 $ m/\sqrt{\lambda} $ の異なる限界における振る舞いとどのように関係するか？
• RQ5 ディラックの手法は、なぜFP手法よりも、現代物理学における参照枠のより自然で論理的に整合性のある枠組みを提供するのか？

主な発見

• ディラックの基本的量子化は、制約殻還元と非局所的ディラック変数を介して、ファドデエフ＝ポポフ手法とは異なり、明示的ローレンツ共変性（S共変性）とゲージ不変性（G不変性）を保っている。
• QEDにおけるクーロン場は、ディラック変数におけるガウスの法則方程式の正確な解として現れる。近似ではなく、このアプローチの物理的整合性を示している。
• ミンコフスキー空間におけるヒッグス模型では、BPSモノポール解と離散的真空幾何が自然に出現し、質量ギャップを研究するための幾何的枠組みを提供する。
• 有効ヒッグス質量 $ m/\sqrt{\lambda} $ は距離 $ r $ の連続関数であり、紫外限界（無限に厚いドメインウォール）ではゼロに近づき、赤方偏移限界（無限に薄いドメインウォール）では有限の値に近づく。これは自然な赤方偏移カットオフを示唆している。
• 局所的演算子の相関関数は距離に従って指数関数的に崩壊する：$ |\langle \Omega, \mathcal{O}(x)\mathcal{O}(y) \Omega \rangle| \leq \exp(-C|x-y|) $ であり、$ |x-y| $ が大きい場合に成り立つ。これは質量ギャップの主要な兆候である。
• ディラックの手法は、離散的真空多様体 $ R_{YM} $ における真空構造とrenormalization groupフローを分析することで、非アーベルゲージ理論における質量ギャップの証明に現実的な道筋を提供する。