[論文レビュー] Direct Scaling Analysis of localization in disordered systems. II. Multi-particle lattice systems

Victor Chulaevsky|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、強力に混合するランダムポテンシャルと一般の減衰する相互作用を有する不規則格子系における多粒子局在化の簡素化された直接スケーリング手法を提示する。精密な固有値濃縮評価と洗練されたマルチスケール解析を組み合わせることで、従来のIIDポテンシャル仮定や有限範囲相互作用の制限を超えて、指数的動的局在化を確立し、より良い減衰バウンドを達成する。

ABSTRACT

We adapt a simplified version of the Multi-Scale Analysis presented in \cite{C11} to multi-particle tight-binding Anderson models. Combined with a recent eigenvalue concentration bound for multi-particle systems \cite{C10}, the new method leads to a simple proof of the multi-particle dynamical localization with more optimal decay bounds on eigenfunctions than in \cite{CS09b,AW09a,AW09b}, for a large class of strongly mixing random potentials. All earlier results required the random potential to be IID. We also extend the result on multi-particle localization to models with a rapidly decaying interaction.

研究の動機と目的

• IIDポテンシャル仮定を超える不規則系における多粒子局在化を証明するための、より簡素で効率的なスケーリング手順の開発。
• 強力に混合するランダムポテンシャルと急速に減衰する相互作用を有する系へと多粒子動的局在化の範囲を拡張すること。
• 非IIDおよび無限範囲相互作用モデルにおいて、従来の研究と比較して固有関数の減衰バウンドを改善すること。
• 単粒子系の手法を多粒子系に適応させることでマルチスケール解析を簡素化し、技術的複雑性を低減すること。
• 配置空間における対称化されたノルム-距離を用いてフェルミオン部分空間での局在化を確立し、以前に用いられた不自然な距離尺度を避けること。

提案手法

• 単粒子系から得られる簡素化されたマルチスケール解析（MSA）のバージョンを多粒子格子モデルに適応し、スペクトル局在化に焦点を当てる。
• 一般のランダムポテンシャル仮定下でのスペクトルゆらぎを制御するため、[C10]から得た新しい固有値濃縮評価を採用する。
• 条件付き期待値とゆらぎ推定に基づく確率的帰納的スキームを用いて、固有値の分離を制御する。
• 平行六面体 Q 上での標本平均 ξ とゆらぎ η_x の間の重要な不等式を適用し、スペクトル距離確率をバウンドする。
• 配置空間における対称化された射影を用いて ℤ^Nd 上のノルム-距離を定義し、固有関数の減衰を測定する。これにより、以前の複雑な配置空間メトリクスを置き換える。
• ランダムポテンシャルゆらぎの測度 ν_L を用いて、二つの部分系間のスペクトル近接確率をバウンドする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 IIDランダムポテンシャルとは異なる弱い仮定（例えば強力な混合性）のもとで、多粒子局在化を証明できるか？
• RQ2 無限範囲または急速に減衰する相互作用を有するモデルにおいて、以前の結果を超えて固有関数の減衰を改善できるか？
• RQ3 多粒子系におけるマルチスケール解析を、局在化特性の制御を失わず、簡素化できるか？
• RQ4 スペクトル局在化の結果を最小限の技術的負担で、完全なヒルベルト空間 ℋ_N へと拡張できるか？
• RQ5 配置空間における対称化されたノルム-距離の使用が、局在化証明および減衰推定にどのように影響するか？

主な発見

• 本稿では、強力に混合するランダムポテンシャルを有するN粒子系に対して指数的動的局在化を確立し、IID仮定の必要性を排除した。
• 洗練されたスケーリング手法のおかげで、[CS09b, AW09a, AW09b] よりも優れた固有関数の減衰バウンドが得られた。
• 有限範囲相互作用に限定されず、指数的または準指数的に減衰する相互作用ポテンシャルに対しても本手法が適用可能である。
• 従来のMPMSAアプローチと比較して、証明が著しく簡素化され、より明確な確率的および解析的構造が得られた。
• 二つの部分系間のスペクトル近接確率は |B_L'(x)|·|B_L''(y)|·ν_L(2s) によってバウンドされ、帰納的制御が可能になった。
• 結果はフェルミオン部分空間で成立し、ヒルベルト空間 ℋ_N 全体への拡張は技術的複雑性が増すが可能である。