[論文レビュー] Fixed-energy multi-particle MSA implies dynamical localization

Victor Chulaevsky|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、多粒子相互作用ハミルトニアンが多粒子系における固定エネルギー多スケール解析（FEMPMSA）の境界を満たすならば、多粒子系におけるダイナミカルローカリゼーションが成立することを確立している。固定エネルギー多粒子多スケール解析（FEMPMSA）の簡略化されたスキームを拡張し、Germinet–Kleinのアプローチの変種と組み合わせることで、確率的ポテンシャルの周辺分布に正則性仮定を課した下で、固有関数相関関数の指数的減衰（任意のべき乗より速い減衰）を初等的に証明した。

ABSTRACT

This work is a continuation of \cite{C12b} where we described two elementary derivations of the variable-energy MSA bounds from their fixed-energy counterparts, in the framework of single-particle disordered quantum particle systems on graphs with polynomially bounded growth of balls. Here the approach of \cite{C12b} is extended to multi-particle Anderson Hamiltonians with interaction; it plays a role similar to that of the Simon--Wolf criterion for single-particle Hamiltonians. A simplified, fixed-energy multi-particle MSA scheme was developed in our earlier work \cite{C08a}, based on a multi-particle adaptation of techniques from Spencer's paper \cite{Sp88}. Combined with a simplified variant of the Germinet--Klein argument \cite{GK01} described in \cite{C12a}, the outcome of the fixed-energy analysis results in an elementary proof of multi-particle dynamical localization with the decay of eigenfunction correlators faster than any power-law.

研究の動機と目的

• 固定エネルギー多粒子多スケール解析（FEMPMSA）と相互作用する量子系におけるダイナミカルローカリゼーションとの直接的な関係を確立すること。
• 複雑なスペクトル還元技術を避けて、多粒子系における変動エネルギーMSA境界を固定エネルギーMSA境界から導出する方法を簡略化すること。
• 確率的ポテンシャルの周辺分布に正則性仮定を課した下で、固有関数相関関数の任意のべき乗より速い減衰を証明すること。
• 単粒子MSA技術（特にSpencerおよびGerminet–Kleinの手法）を、相互作用を含む多粒子系に拡張すること。
• 固定エネルギー解析と分離可能性に基づく幾何的道具のみを用いて、多粒子ダイナミカルローカリゼーションを自己完結的かつ初等的に証明すること。

提案手法

• 以前の研究[C08a]で提案されたSpencerの手法[Sp88]に基づく簡略化された固定エネルギー多粒子MSAスキームを、相互作用を含む多粒子系に適応する。
• Germinet–Kleinのアプローチの変種[GK01]を、[C12a]で述べられた方法に従って、固定エネルギー境界を変動エネルギーMSA推定値に変換するために用いる。
• Y. Suhovとの共同研究[CS08, CS09a, CS09b]で導入された有限体積配置の分離可能性の概念を、多粒子系における非相互作用部分配置を扱うために用いる。
• スペクトル還元技術をリソルベント行列要素に適用し、極の数が制御可能な有理関数の構造を活用する。
• ハミルトニアンのテンソル積分解を用いて、リソルベント成分の境界を、非共鳴条件 $|E - ( u_a + u_b)| \neq e^{L_k^\beta}$ を用いて得る。
• 投影された部分配置における固有値の分離と局在性に関する再帰的境界を用いて、リソルベント行列要素の指数的減衰を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定エネルギー多粒子MSA境界は、相互作用を含む量子系においてダイナミカルローカリゼーションを示すことができるか？
• RQ2 固有関数相関関数の超多項式的減衰を達成するために、確率的ポテンシャルの周辺分布に必要な最小の正則性仮定は何か？
• RQ3 Germinet–Kleinのスペクトル還元技法は、相互作用を含む多粒子系にどのように適応できるか？
• RQ4 複雑な確率論的道具を避けて、変動エネルギーMSAを固定エネルギーMSAから導出することは可能か？
• RQ5 配置の分離可能性は、多粒子MSAフレームワークの簡略化に果たす役割は何か？

主な発見

• 固定エネルギー多粒子MSA境界は、多項式的成長を示すグラフ上に存在する $N \geq 2$ 個の粒子を有する相互作用を含む量子系において、ダイナミカルローカリゼーションを示す。
• 固有関数相関関数の減衰は任意のべき乗より速く、すなわち $|G(\bx,\by;E)| \leq \exp(-\gamma(m,L_k,N) L_k)$ であり、$\gamma \to \infty$ である $L_k \to \infty$ の下で成り立つ。
• 証明は、確率的ポテンシャルの周辺分布に正則性仮定を課すことにより、スペクトル還元を簡略化し、特異測度に起因する技術的複雑性を回避する。
• 変動エネルギーMSA（VEMPMSA）の必要性を回避し、簡略化されたGerminet–Kleinのアプローチにより、FEMPMSAから直接的に導出する。
• $N \geq 3$ の場合、長距離トンネル効果に起因する構造的共鳴を制御するため、正則性仮定が必要となる。
• 結果は、球の成長が多項式的である連結な可算グラフとしての配置空間を仮定することで成り立ち、格子の場合を一般化する。