[論文レビュー] Dirichlet problem for supercritical nonlocal operators

Xicheng Zhang, Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 25被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、有界な $C^2$ 域における上位非局所作用素にドリフト項を含むディリクレ問題に対して、古典的解の存在と一意性を確立する。分数階数 $\alpha \in (0,1)$ の下でドリフト項が支配的となる。解はドリフト付きのリーヴィ過程の停止時間による確率的表現を備え、境界挙動はドリフトの法線成分の符号に基づいて分類される。

ABSTRACT

Let $D$ be a bounded $C^2$-domain. Consider the following Dirichlet initial-boundary problem of nonlocal operators with a drift: $$ \partial_t u={\mathscr L}^{(α)}_κu+b\cdot abla u+f\ \mathrm{in}\ \mathbb R_+ imes D,\ \ u|_{\mathbb R_+ imes D^c}=0,\ u(0,\cdot)|_{D}=φ, $$ where $α\in(0,2)$ and $\mathscr L^{(α)}_κ$ is an $α$-stable-like nonlocal operator with kernel function $κ(x,z)$ bounded from above and below by positive constants, and $b:\mathbb R^d o\mathbb R^d$ is a bounded $C^β$-function with $α+β>1$, $f: \mathbb R_+ imes D o\mathbb R$ is a $C^γ$-function in $D$ uniformly in $t$ with $γ\in((1-α)\vee 0,β]$, $φ\in C^{α+γ}(D)$. Under some Hölder assumptions on $κ$, we show the existence of a unique classical solution $u\in L^\infty_{loc}(\mathbb R_+; C^{α+γ}_{loc}(D)) imes C(\mathbb R_+; C_b(D))$ to the above problem. Moreover, we establish the following probabilistic representation for $u$ $$ u(t,x)=\mathbb E_x \Big(φ(X_{t}){\bf 1}_{τ_{D}>t}\Big)+\mathbb E_x\left(\int^{t\wedgeτ_{D}}_0f(t-s,X_s){ m d} s ight),\ t\geq 0,\ x\in D, $$ where $((X_t)_{t\geq 0},\mathbb P_x; x\in\mathbb R^d)$ is the Markov process associated with the operator $\mathscr L^{(α)}_κ+b\cdot abla$, and $τ_D$ is the first exit time of $X$ from $D$. In the sub and critical case $α\in[1,2)$, the kernel function $κ$ can be rough in $z$. In the supercritical case $α\in(0,1)$, we classify the boundary points according to the sign of $b(z)\cdot\vec{n}(z)$, where $z\in\partial D$ and $\vec{n}(z)$ is the unit outward normal vector. Finally, we provide an example and simulate it by Monte-Carlo method to show our results.

研究の動機と目的

• 有界な $C^2$ 域における上位非局所作用素にドリフトを含むディリクレ問題に対して、古典的解の存在と一意性を確立すること。
• 分数階数 $\alpha \in (0,1)$ の上位非局所的状況（上位臨界的状態）において、ドリフトの法線成分に基づいて境界点を分類することで、解の境界挙動を分析すること。
• ドリフト付きのリーヴィ過程の最初の停止時刻を用いて、解の確率的表現を導出すること。
• サウダー型推移を、非局所放物型方程式にドリフトを含む下で、下位臨界的および上位臨界的両状態に拡張すること。
• 変化するドリフト場を有する1次元例のモンテカルロシミュレーションを通じて、理論的結果の妥当性を検証すること。

提案手法

• 重み付きホルダー空間におけるサウダー推移を用いて、ドリフトを含む非局所放物型方程式の解の正則性を制御する。
• 確率的表現の適用：$ u(t,x) = \mathbb{E}_x[\varphi(X_t) \mathbf{1}_{\tau_D > t}] + \mathbb{E}_x[\int_0^{t \wedge \tau_D} f(t-s,X_s) ds] $、ここで $X_t$ は $\mathscr{L}^{(\alpha)}_{\kappa} + b\cdot\nabla$ に関連するマルコフ過程である。
• 切断関数を用いた滑らか化技術を用いて、強制項 $f$ を近似し、ホルダーノルム内での収束を確立する。
• 上位臨界的状況における境界付近での解の制御のため、重み付きホルダー空間における最大原理を導入する。
• 分数階ラプラシアンのスケーリング性質を用いて、ドリフトが支配的となる上位臨界的状態を動機づける。
• Rを用いたモンテカルロシミュレーションにより、境界正則性および解の減衰に関する理論的予測の数値的妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階数 $\alpha \in (0,1)$ の下で、ドリフト項は非局所ディリクレ問題の解の正則性および境界挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ2 上位非局所的ディリクレ問題にドリフトを含む場合、解に対して厳密な確率的表現を確立できるか？
• RQ3 ドリフトベクトル場 $b$ およびカーネル $\kappa$ にどのような条件を課すと、古典的解の存在と一意性が保証されるか？
• RQ4 境界点 $z$ における $b(z) \cdot \vec{n}(z)$ の符号は、解の境界への連続性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 数値的シミュレーションは、解の減衰および境界挙動に関する理論的予測をどの程度確認しているか？

主な発見

• ホルダー正則性仮定の下で $\kappa$, $b$, $f$, $\varphi$ が成り立つ場合、$u \in L^\infty_{\text{loc}}(\mathbb{R}_+; C^{\alpha+\gamma}_{\text{loc}}(D)) \cap C(\mathbb{R}_+; C_b(D))$ なる一意な古典的解が存在する。
• 解はドリフト付きリーヴィ過程の最初の停止時刻 $\tau_D$ を含む確率的表現を備え、確率過程と非局所PDEの間の関係を裏付ける。
• 上位臨界的状況（$\alpha \in (0,1)$）では、$b(z) \cdot \vec{n}(z) > 0$ ならば境界 $z \in \partial D$ で解は連続であり、$b(z) \cdot \vec{n}(z) < 0$ ならば不連続である。
• $\alpha \in [1,2)$ の場合、分数階ラプラシアンの支配的性質により、ドリフトの方向に関係なく解は境界で連続のままである。
• モンテカルロ法による数値的シミュレーションにより、$\Delta^{\alpha/2}$ の散逸的性質に起因して解が時間とともに0に減衰することが確認され、理論的予測と整合する境界不連続性を示す。
• 解は有界であり、時間に関してホルダー連続で、$C_b(D)$ 値をとり、時間微分は重み付きホルダーノルムにおけるサウダー推移により制御される。