[論文レビュー] Discrete compactness for the p-version of discrete differential forms

Daniele Boffi, Martin Costabel+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2009

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^d$ 内の多面体領域における一般化されたNédélec辺要素を用いた $H(\operatorname{curl})$-適合有限要素法の $p$-バージョンに対して、離散的コンパクト性の性質を確立する。滑らか化されたPoincaré上昇作用素と射影に基づく補間を活用することで、2次元および3次元のMaxwell固有値問題において、広く用いられる辺有限要素族がスペクトル収束し、偽モードを発生させないことを証明する。

ABSTRACT

In this paper we prove the discrete compactness property for a wide class of p-version finite element approximations of non-elliptic variational eigenvalue problems in two and three space dimensions. In a very general framework, we find sufficient conditions for the p-version of a generalized discrete compactness property, which is formulated in the setting of discrete differential forms of any order on a d-dimensional polyhedral domain. One of the main tools for the analysis is a recently introduced smoothed Poincaré lifting operator [M. Costabel and A. McIntosh, On Bogovskii and regularized Poincaré integral operators for de Rham complexes on Lipschitz domains, Math. Z., (2010)]. For forms of order 1 our analysis shows that several widely used families of edge finite elements satisfy the discrete compactness property in p-version and hence provide convergent solutions to the Maxwell eigenvalue problem. In particular, Nédélec elements on triangles and tetrahedra (first and second kind) and on parallelograms and parallelepipeds (first kind) are covered by our theory.

研究の動機と目的

• 2次元および3次元における $H(\operatorname{curl})$-適合有限要素法の $p$-バージョンに対して、離散的コンパクト性の性質を確立すること。
• 多面体領域における $\ell$ 次の離散微分形式の $p$-バージョンを分析するための一般的な枠組みを提供すること。
• 標準的な辺有限要素族が $p$-細分化において離散的コンパクト性の性質を満たすことを検証すること。
• Maxwell固有値問題の収束解析を、可変な材料係数および一般化された $p$-細分化戦略にまで拡張すること。
• 三角形、単体、平行四辺形、平行六面体におけるNédélec要素の $p$-バージョンが、偽モードを伴わずにスペクトル的に正しい近似をもたらすことを示すこと。

提案手法

• 最近開発された滑らか化されたPoincaré上昇作用素を用い、連続性および離散微分形式との適合性を保証する。
• 近年の $p$-バージョン有限要素に対する誤差推定に基づき、$L^2$-ノルムにおける $p$-一様有界性を満たす射影に基づく補間作用素を適用する。
• 有限要素空間および補間作用素に関する自然な仮定の集合を用いて、離散的コンパクト性の性質を確立する。
• 下位次元の facet における適切なトレースを保証するため、トレース定理およびSobolev正則性推定に依存する。
• 離散微分形式理論からの抽象的枠組みを用い、標準的な有限要素空間を超えて一般化された解析を可能にする。
• $H(\operatorname{curl})$-適合辺要素、特にさまざまな要素における第一種および第二種のNédélec要素への適用を通じて、アプローチを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な $p$-バージョン辺有限要素族は、Maxwell固有値問題に対して離散的コンパクト性の性質を満たすか？
• RQ2 $H(\operatorname{curl})$-適合 $p$-細分化有限要素に対して、離散微分形式の一般枠組みを用いて離散的コンパクト性の性質を確立できるか？
• RQ3 補間作用素および上昇作用素にどのような条件を課すと、非楕円型固有値問題の $p$-バージョン離散化の収束が保証されるか？
• RQ4 Maxwell固有値問題における一般材料係数 $\epsilon$ および $\mu$ に対して、理論はどの程度拡張可能か？
• RQ5 現在のアプローチが $hp$-細分化や $d > 3$ 次元に拡張できないのはなぜか？

主な発見

• 三角形、単体、平行四辺形、平行六面体におけるNédélec辺要素の $p$-バージョンは、離散的コンパクト性の性質を満たす。
• 離散的コンパクト性の性質により、Maxwell固有値問題の $p$-バージョンガラーキン近似がスペクトル的に収束し、偽モードを発生させないことが保証される。
• 滑らか化されたPoincaré上昇作用素は、一様な連続性および離散微分形式との適合性を実現し、主要な技術的ツールを形成する。
• 解析は、正規化された場合を越えて、一様に正定値であると仮定される一般材料係数 $\epsilon$ および $\mu$ に対しても適用可能である。
• 射影作用素の $L^2$-有界性を変動する多項式次数のもとで維持する技術的課題のため、理論は $hp$-細分化をカバーしない。
• 高次元多面体要素における $p$-一様有界性の結果が不足していること、およびトレース正則性の制限が原因で、$d > 3$ 次元への拡張は妨げられる。