[論文レビュー] Discrete holomorphic local dynamical systems

Marco Abate|ArXiv.org|Mar 19, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本調査は、複素多様体上の固定点における離散的ホロモルフィック局所力学系を検討し、安定集合の構造とその内部の力学に焦点を当てる。特に、微分の固有値が1（重複度1）であり、他の固有値が絶対値1未塔である場合に、このような系がより単純な標準形と位相的同相である条件を確立する。非共鳴条件およびブリュノ型条件のもとで、完全な位相的分類が得られる。

ABSTRACT

This is a survey on local dynamics of holomorphic maps in one and several complex variables, discussing in particular normal forms and the structure of local stable sets in the non-hyperbolic case, and including several proofs and a vast bibliography. It updates and enlarge the previous survey arXiv:math/0310089v1.

研究の動機と目的

• 複素多様体上の固定点における離散的ホロモルフィック局所力学系を、位相的およびホロモルフィック同相性を用いて分類すること。
• 特に固有値1が重複度1である場合に、このような系がより単純な標準形と同相である条件を特定すること。
• 特に固有値1と無理数回転数をもつ場合に、不変曲線または多様体が存在する条件を同定すること。
• 固定点近傍の力学を分類するうえで、不変量および共鳴条件が果たす役割を明らかにすること。
• 線形化および標準形に関する既知の結果を、半吸引的および非線形化可能な場合にまで拡張すること。

提案手法

• 局所座標を用いて、恒等写像に接する部分を分離し、残りの部分がより小さい絶対値を持つ形にホロモルフィック写像を表現すること。
• ポシュェル–ブリュノ理論を応用し、回転数がブリュノ条件を満たす場合に、不変ディスク上での力学を線形化すること。
• 標準形理論および通常双曲的系に関する結果を用いて、非共鳴条件のもとでの力学の分類を行うこと。
• 特徴的方向および一般化固有空間を用いて、特定の方向に接する不変多様体を構成すること。
• リヴィおよびディ・ジウゼッペの定理を応用し、固有値1と絶対値1未塔の他の固有値をもつ系を分類すること。
• ホロモルフィック不変量を用いて、特に一般の場合に位相的同相類を特定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定点におけるホロモルフィック局所力学系が、その線形部分または単純な標準形と位相的同相であるための条件は何か？
• RQ2 固有値1と絶対値1未塔の他の固有値をもつ場合に、不変複素曲線または多様体が存在するのはいつか？
• RQ3 共鳴条件およびブリュノ条件は、固有値1をもつ固定点近傍の力学の線形化にどのように寄与するか？
• RQ4 非線形化可能な場合に、ホロモルフィック不変量は位相的同相な力学系をどのように区別するか？
• RQ5 安定集合の構造は何か？ また、吸引的または放物的挙動の存在とどのように関係するか？

主な発見

• 固定点における微分の固有値が、代数的および幾何的重複度1で1であり、他のすべての固有値が絶対値1未塔である場合、系は線形部分または特定の非線形標準形と位相的同相である。
• 非共鳴およびブリュノ条件のもとで、1次元不変ディスク上での力学は無理数回転と同相であり、そのディスク上での線形化が保証される。
• 固有値1と非共鳴で絶対値1未塔の固有値をもつ写像に対しては、位相的分類により、ちょうど2つの同型類が得られる：線形写像または特定の非線形摂動。
• ブラッチとモリーノによる結果により、2つの新しいホロモルフィック不変量を含む一般的条件下で、固有値1の固有空間に接する放物的曲線の存在が保証される。
• 固有値1の重複度が1より大きい場合、力学系は恒等写像に接する部分と収縮部分に分解され、非退化な特徴的方向に沿って不変多様体が現れる。
• 次元2の場合、非1固有値がブリュノ条件を満たすならば、1次元不変ホロモルフィックディスクが存在し、その上では写像が回転と同相である。