[論文レビュー] Discrete model of spacetime in terms of inverse spectra of the $T_0$ Alexandroff topological spaces

Vladimir N. Efremov, Nikolai V. Mitskievich|ArXiv.org|Jan 17, 2003

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コンpaktoな3次元多様体の正規分割の逐次的精錬から時空の進化が生じるT₀アレクサンドロフ位相的空間の逆スペクトルを用いて、4次元時空の離散的モデルを提案する。主な貢献は、古典的および準量子的特徴を併せ持つ因果的順序関係の導入であり、ホイーラー＝デウィットの超位相空間の位相的類似物としての離散的超位相空間（DSS）の導入である。

ABSTRACT

The theory of inverse spectra of $T_0$ Alexandroff topological spaces is used to construct a model of $T_0$-discrete four-dimensional spacetime. The universe evolution is interpreted in terms of a sequence of topology changes in the set of $T_0$-discrete spaces realized as nerves of the canonical partitions of three-dimensional compact manifolds. The cosmological time arrow arises being connected with the refinement of the canonical partitions, and it is defined by the action of homomorphisms in the proper inverse spectrum of three-dimensional $T_0$-discrete spaces. A new causal order relation in this spectrum is postulated having the basic properties of the causal order in the pseudo-Riemannian spacetime however also bearing certain quasi-quantum features. An attempt is made to describe topological changes between compact manifolds in terms of bifurcations of proper inverse spectra; this led us to the concept of bispectrum. As a generalization of this concept, inverse multispectra and superspectrum are introduced. The last one enables us to introduce the discrete superspace, a discrete counterpart of the Wheeler--DeWitt superspace.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体を離散的位相的構造に置き換えることで、量子力学と一般相対性理論を統合する離散的時空モデルの構築を目的とする。
• 宇宙論的時間の矢を、T₀離散的3次元空間の系列における正規分割の精錬から生じさせるモデル化を目的とする。
• 逆スペクトル上に定義された因果的順序関係が、擬リーマン的時空因果性を模倣するとともに、準量子的特徴を示すように定式化することを目的とする。
• 3次元多様体間の位相的遷移を記述するためのバイスペクトル、およびより一般的な逆マルチスペクトルと超スペクトルの概念を導入することを目的とする。
• 将来の位相力学的量子化の基盤としての、ホイーラー＝デウィット超位相空間の離散的類似物（DSS）を構築することを目的とする。

提案手法

• 離散的時空進化の数学的枠組みとして、T₀アレクサンドロフ空間の逆スペクトルを用いる。
• 時空進化を、コンパクトな3次元多様体の正規分割の系列的精錬としてモデル化し、グローバルな離散的時間パラメータを生成する。
• 逆スペクトル上に部分順序関係を定義し、推移性および因果的過去集合と未来集合の相互適合性を満たすことで、時空因果性を模倣する。
• 3次元多様体間の位相的遷移を記述するためのバイスペクトルの概念を導入し、特にクネーザーとミルナーによる3次元多様体分解に関する結果を活用する。
• 精錬された被覆の上でのČechコhomロジー群の逆極限として離散的超位相空間（DSS）を構成し、微分幾何学的力学の位相的類似物を可能にする。
• Čechコチェイン複体上での余境界作用素およびホモトピー作用素を用いた代数的位相幾何学的手法を適用し、階層的スケールにおける位相的励起（エキシトープス）をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、位相的精錬から自然に宇宙論的時間の矢が生じる離散的時空モデルを構築できるか？
• RQ2 擬リーマン的因果性の主要な性質を保ちつつ、離散的時空における因果的順序を記述する適切な数学的構造は何か？
• RQ3 3次元多様体間の位相的変化（たとえば、新たな多様体の生成）を、離散的でスペクトル的な枠組み内でどのように記述できるか？
• RQ4 将来の位相力学的理論を支える、ホイーラー＝デウィット超位相空間の離散的類似物を定義できるか？
• RQ5 階層的スケールとリーマン数は、離散的時空の構造およびその観測可能性を定義するために果たす役割は何か？

主な発見

• T₀アレクサンドロフ空間の逆スペクトルは、正規分割の精錬から時間の矢が生じる4次元時空の離散的モデルを提供する。
• 逆スペクトル上に定義された因果的順序関係は、推移性および過去集合と未来集合の相互適合性を満たし、擬リーマン幾何学的時空因果性に類似している。
• 本モデルは、プランクスケール分解能における離散的基準枠の選択に依存する因果構造を示すなど、準量子的特徴を示す。
• バイスペクトルの概念により、3次元多様体間の位相的遷移を記述でき、すべての3次元多様体がS³を出発点として逐次的精錬によって構成可能である。
• 離散的超位相空間（DSS）は、Čechコホモロジー群の逆極限として定義され、将来の位相力学的量子化のための位相的舞台を提供する。
• スペクトル構造に基づき、多世界解釈の位相的類似物およびハイゼンベルクの不確定性原理の類似物が、定性的に提起されている。