[論文レビュー] Dissipativity and optimal control

Lars Grüne|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2021

Advanced Control Systems Optimization参考文献 72被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、厳密な消費性と最適制御の間の基礎的関係を確立し、厳密な消費性が転がり性質（turnpike property）を保証することを示している。すなわち、最適軌道が時間の大部分を定常状態付近に保つことにより、モデル予測制御（MPC）における安定性と性能保証が可能になる。主な貢献は、線形のストレージ関数を伴う厳密な消費性が、Lyapunovに基づく安定性解析と、MPCスキームにおける最適一時的および平均コスト近似を可能にすることを示したことである。

ABSTRACT

The close link between dissipativity and optimal control is already apparent in Jan C. Willems' first papers on the subject. In recent years, research on this link has been revived with a particular focus on nonlinear problems and applications in model predictive control (MPC). This paper surveys these recent developments and some of Willems' and other authors' earlier results.

研究の動機と目的

• 消費性と最適制御の理論的関係を明確にすること、特にモデル予測制御（MPC）の文脈における関係を明らかにすること。
• 厳密な消費性が、最適軌道が時間の大部分を定常状態に近い状態に保つ転がり性質を示す仕組みを示すこと。
• 終端条件に依存しないMPCスキームの安定性と性能分析を、消費性および転がり性現象を活用することで拡張すること。
• 離散的および連続的時間における消費性、可検出性、最適制御を結びつける最近の進展を統合的かつ包括的に調査すること。
• 無限次元系および確率的最適制御へのこれらの結果の拡張に関する未解決問題を特定すること。

提案手法

• ストレージ関数 λ(x) とサプライレート s(x,u) を用いた厳密な消費性の概念を用い、MPCの閉ループ安定性のためのLyapunov関数を導出する。
• MPCにおける強い双対性を適用し、線形ストレージ関数を伴う厳密な消費性がLyapunov関数を導くことを示し、漸近的安定性を保証する。
• 厳密な消費性に加えて可制御性条件が成立すれば、軌道が最適平衡点に近い状態に長期間留まることを示す転がり性質が成立することを確立する。
• 終端条件のないMPCの性能バウンダリーを導出し、閉ループコストが最適一時的コストに誤差項 δ₁(T) と δ₂(S) を加えたもので抑えられることを示す。
• 転がり性質を用いて、終端制約がなくてもMPCが近似的に最適な平均コストおよび一時的コストを達成できることを証明する。
• 超過最適性（overtaking optimality）を用いて、時変および周期的最適軌道へと枠組みを拡張し、平衡点設定を超えた応用可能性を広げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 厳密な消費性は、モデル予測制御（MPC）スキームの安定性と性能にどのように関係するか？
• RQ2 最適制御における転がり性質が成立する条件は何か？ また、それは厳密な消費性とどのように関連するか？
• RQ3 終端条件のないMPCについて、消費性および転がり性質を用いて性能バウンダリーを確立できるか？
• RQ4 厳密な消費性は、非線形システムにおける古典的な可検出性の概念とどのように関係するか？
• RQ5 消費性に基づく解析を、無限次元系および確率的最適制御問題へどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• 線形ストレージ関数を伴う厳密な消費性は、MPCにおける強い双対性と同値であり、Lyapunovに基づく安定性解析を可能にする。
• 厳密な消費性に加えて可制御性条件が成立すれば、最適軌道が時間の大部分を平衡点に近い状態に保つ転がり性質が成立する。
• 終端条件のないMPCについて、平均コストは $\overline{J}^{MPC}_{\infty}(x_0) \leq \ell(x^e,u^e) + \delta_1(T)$ を満たし、$\delta_1(T)$ は $T$ が増加するにつれて減少する。
• 終端条件のないMPCにおける一時的コストは、$J^{MPC}_S(x_0) \leq \inf_{u\in\widetilde{\mathbb{U}}^S} J_S(x_0) + S\delta_1(T) + \delta_2(S)$ で抑えられ、ここで $\delta_1(T)$ と $\delta_2(S)$ は誤差項である。
• 段階コストが正定値の場合、終端条件がなくても $J^{MPC}_\infty(x_0)$ は有限であり、時間幅 $T$ が大きくなるほど性能バウンダリーが改善する。
• 一時的コストのバウンダリーにおける要因 $S\delta_1(T)$ は、閉ループが平衡点に収束しない場合の残存段階コストの蓄積を反映しており、実用的漸近的安定性の自然な結果である。