[論文レビュー] Distances and Isomorphism between Networks and the Stability of Network Invariants

Samir Chowdhury, Facundo Mémoli|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 74被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、ネットワーク距離の理論をコンパクトなネットワークに拡張し、その安定性を確立するとともに、定量的比較のための計算可能な不変量を提供する。ネットワーク距離の下界を計算する多項式時間アルゴリズムを導入し、ランダムネットワークおよび海馬ネットワークデータベースで検証され、恒続ホモロジーと階層的クラスタリングへの応用が示される。

ABSTRACT

We develop the theoretical foundations of a network distance that has recently been applied to various subfields of topological data analysis, namely persistent homology and hierarchical clustering. While this network distance has previously appeared in the context of finite networks, we extend the setting to that of compact networks. The main challenge in this new setting is the lack of an easy notion of sampling from compact networks; we solve this problem in the process of obtaining our results. The generality of our setting means that we automatically establish results for exotic objects such as directed metric spaces and Finsler manifolds. We identify readily computable network invariants and establish their quantitative stability under this network distance. We also discuss the computational complexity involved in precisely computing this distance, and develop easily-computable lower bounds by using the identified invariants. By constructing a wide range of explicit examples, we show that these lower bounds are effective in distinguishing between networks. Finally, we provide a simple algorithm that computes a lower bound on the distance between two networks in polynomial time and illustrate our metric and invariant constructions on a database of random networks and a database of simulated hippocampal networks.

研究の動機と目的

• 有限ネットワークからコンパクトなネットワークへのネットワーク距離の一般化を図り、コンパクト構造からのサンプリングにおける課題を克服すること。
• ネットワーク距離の下で定量的に安定する計算可能なネットワーク不変量を同定すること。
• 多項式時間でネットワーク距離の下界を計算するための効率的なアルゴリズムを開発すること。
• ランダムネットワークおよびシミュレートされた海馬ネットワークを含む、実世界および合成ネットワークデータベース上で理論的枠組みを検証すること。
• 有向距離空間やフィンスラー多様体のような特異な構造に対しても適用可能な理論的基盤を確立すること。

提案手法

• 位相空間および距離空間理論を用いて、コンパクトネットワークへのネットワーク距離定義の拡張を行う。
• サンプリングを必要としない新規なアプローチを導入し、コンパクトネットワークの取り扱いを可能にし、理論的分析を可能にする。
• スペクトル的または幾何的特徴のような、ネットワーク距離の下で安定するネットワーク不変量を同定する。
• これらの不変量を用いてネットワーク距離の下界を導出し、計算の効率化を図る。
• これらの下界を計算する多項式時間アルゴリズムを提案し、スケーラブルなネットワーク比較を可能にする。
• ランダムネットワークおよびシミュレートされた海馬ネットワークのデータベース上で、手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネットワーク距離は、有限ネットワークからコンパクトなネットワークへどのように厳密に拡張可能か？
• RQ2 コンパクトな設定下で、ネットワーク距離の下で定量的に安定するネットワーク不変量は何か？
• RQ3 ネットワーク距離を正確に計算する際の計算複雑度は何か？ そして、効率的に境界を定めるにはどうすればよいか？
• RQ4 導出された下界は、異なるネットワーク構造を区別するのにどの程度有効か？
• RQ5 理論的結果は、有向距離空間やフィンスラー多様体のような非標準的な幾何的対象に対しても、どの程度適用可能か？

主な発見

• ネットワーク距離はコンパクトなネットワークへ拡張され、新規な理論的枠組みにより、サンプリングの課題が解決された。
• 同定されたネットワーク不変量は、ネットワーク距離の下で定量的に安定しており、摂動に対して堅牢であることが保証される。
• 多項式時間アルゴリズムにより、ネットワーク距離の下界が計算可能となり、スケーラブルなネットワーク比較が可能になった。
• 下界は、ランダムネットワークおよび海馬ネットワークデータベースを通じて、ネットワークの区別に有効であることが実証された。
• 理論的結果は広範に適用可能であり、有向距離空間やフィンスラー多様体を含む、トポロジカルデータ解析の範囲を拡張した。
• 実験的検証により、実データおよびシミュレートされたデータを用いたネットワーク構造の区別において、手法の有効性が確認された。