[論文レビュー] Distinguished representations for SL(n)

U. K. Anandavardhanan, Dipendra Prasad|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所体または有限体の二次拡張 $E/F$ に対して、$\mathrm{SL}_n(E)$ の既約適切な一般的表現 $\pi$ 上の $\mathrm{SL}_n(F)$-不変線形関数の空間の次元について、明確な公式を確立する。この次元は、$\mathrm{SU}_n(F)$ から $\mathrm{SL}_n(E)$ への基本変換写像のファイバーの大きさに等しく、Prasad が $G = \mathrm{SL}_n$ に対して提起した予想を裏付ける。この結果は、$n=2$ および奇数 $n$ の場合の先行研究を一般化し、区別性の鍵となる基準としてホイットラー・モデル条​​件を導入する。

ABSTRACT

For $E/F$ a quadratic extension of local fields, and $π$ an irreducible admissible generic representation of $SL_n(E)$, we calculate the dimension of $Hom_{SL_n(F)}[π,C]$ and relate it to fibers of the base change map corresponding to base change of representations of $SU_n(F)$ to $SL_n(E)$ as suggested in a recent work of the second author. We also deal with finite fields.

研究の動機と目的

• 局所体または有限体の二次拡張 $E/F$ に対して、$\mathrm{SL}_n(E)$ の既約適切な一般的表現 $\pi$ について、$\dim_{\mathbb{C}} \mathrm{Hom}_{\mathrm{SL}_n(F)}[\pi, \mathbb{C}]$ を計算すること。
• この次元が、[Pra16] で示唆された $\mathrm{SU}_n(F)$ から $\mathrm{SL}_n(E)$ への基本変換写像のファイバーとどのように関係するかを明らかにすること。
• $n=2$ および奇数 $n$ の場合の区別に関する先行結果を、一般の場合、特に偶数 $n$ の場合に拡張すること。
• $\mathrm{SL}_n(F)$-区別された表現の特徴づけを、$N(E)/N(F)$ 上の非退化的特徴のホイットラー・モデルを通じて行うこと。

提案手法

• 表現の $\mathrm{SU}_n(F)$ と $\mathrm{SL}_n(E)$ 間の関係を、基本変換写像 $P\Phi: H^1(W_F', \mathrm{PGL}_n(\mathbb{C})[\tau]) \to H^1(W_E', \mathrm{PGL}_n(\mathbb{C}))$ を用いて確立する。
• Matringe が $\mathrm{GL}_n(F)$-区別の一般的表現 $\mathrm{GL}_n(E)$ に対して得た結果を応用し、$\mathrm{SL}_n(F)$-不変関数の解析に用いる。
• $\mathrm{PGL}_n(F)$ が $\mathrm{SL}_n(E)$ の $L$-パケッジに推移的に作用することに依拠し、$\mathrm{Hom}_{\mathrm{SL}_n(F)}[\pi, \mathbb{C}]$ の次元が $\mathrm{PGL}_n(F)$-同値類上で一定であることを保証する。
• $\mathrm{SL}_n(E)$-パラメータと $\mathrm{GL}_n(E)$-パラメータの間の、特徴のねじれによる同一視を用い、$\mathrm{SU}_n(F)$-パラメータと $\mathrm{GL}_n(E)$-パラメータの関係を基本変換写像 $\Phi$ を通じて結びつける。
• ラングランズパラメータの強同値性および弱同値性の概念を用い、基本変換写像のファイバーの大きさを計算する。
• 一般的表現 $\pi$ が $\mathrm{SL}_n(F)$-区別されるためには、$N(E)/N(F)$ 上の非退化的特徴のホイットラー・モデルを備えている必要があることを示し、[AM17] のトゥーレントおよびユニタリ表現に関する結果を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既約適切な一般的表現 $\pi$ の $\mathrm{SL}_n(E)$ 上で、$\mathrm{Hom}_{\mathrm{SL}_n(F)}[\pi, \mathbb{C}]$ の正確な次元は何か？
• RQ2 この次元は、$\mathrm{SU}_n(F)$ から $\mathrm{SL}_n(E)$ への基本変換写像のファイバーとどのように関係するか？
• RQ3 一般的表現 $\pi$ が非ゼロの $\mathrm{SL}_n(F)$-不変線形関数を持つための条件は何か？
• RQ4 ホイットラー・モデル条件（$N(E)/N(F)$ 上の非退化的特徴）は、$\mathrm{SL}_n(F)$-区別性の必要十分条件か？

主な発見

• $\mathrm{Hom}_{\mathrm{SL}_n(F)}[\pi, \mathbb{C}]$ の次元は、$\pi$ のラングランズパラメータ $\rho_\pi$ における基本変換写像 $P\Phi$ のファイバーの大きさに等しく、すなわち $\dim_{\mathbb{C}} \mathrm{Hom}_{\mathrm{SL}_n(F)}[\pi, \mathbb{C}] = |P\Phi^{-1}(\rho_\pi)|$ が成り立つ。
• 一般的表現 $\pi$ が $\mathrm{SL}_n(F)$-区別されるための必要十分条件は、そのラングランズパラメータ $\rho_\pi$ が基本変換写像 $P\Phi$ の像に属することである。
• $\mathrm{SL}_n(F)$-区別性は、$\pi$ が $N(E)/N(F)$ 上の非退化的特徴のホイットラー・モデルを備えていることと同値である。ここで $N$ はボレル部分群の単型部分群である。
• 偶数 $n$ の場合、対称空間 $({\rm SL}_n(E), {\rm SL}_n(F))$ はゲルファンド対でなく、重複度が1を超えることがある。これは奇数 $n$ の場合とは対照的である。
• この結果は、$G = \mathrm{SL}_n$ に対して一般の予想 [Pra16] を確認する。不変関数の次元が基本変換写像のファイバーに一致する。
• この公式は $p$-進体および有限体の両方に対して一様に成り立ち、$n=2$ や奇数 $n$ の場合に限られていた先行研究を拡張する。