[論文レビュー] Distribution of reducible polynomials with a given coefficient set

Shane Chern|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限集合 𝒮 から係数をとる整数係数の一変数多項式の可約多項式の数に対する明示的な上界を、モジュラス還元と除数関数の推定を用いて確立する。主な結果は、|ℛₙ*⁽𝒮⁾| ≤ 4(n−1)Mⁿ⁻²(∑ₐ∈𝒮* d(a))² であり、ここで M は係数の互いに異なる残差を保証するものである。この結果を応用して、{0,±1} の係数をとるランダムな二変数多項式が可約である確率が、次数が増加するにつれて 0 に収束することを示す。

ABSTRACT

For a given set of integers $\mathcal{S}$, let $\mathcal{R}_n^*(\mathcal{S})$ denote the set of reducible polynomials $f(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0$ over $\mathbb{Z}[X]$ with $a_i\in\mathcal{S}$ and $a_0a_n e 0$. In this note, we shall give an explicit bound of $|\mathcal{R}_n^*(\mathcal{S})|$. We also present an application of this bound to reducible bivariate polynomials over $\mathbb{Z}[X,Y]$.

研究の動機と目的

• 固定された有限整数集合 𝒮 に制限された係数をもつ可約な一変数多項式の数に対する明示的上界を導出すること。
• Bary-Soroker と Kozma の ±1 係数多項式に関する結果を一般化し、任意の有限係数集合へとモジュラス還元法を拡張すること。
• 上界を {0,±1} の係数をとる二変数多項式に応用し、次数が増加するにつれてその可約性の確率が 0 に収束することを証明すること。
• オイラーの恒等式と係数数え上げを用いて、このような二変数多項式の可約性確率が漸近的に消えることを示すこと。

提案手法

• すべての 𝒮 の要素が互いに異なる残差をもつように選ぶ整数 M を用いて、ℤ/Mℤ[X] への単射写像として多項式を還元する。
• 固定された定数項および先頭係数を持つ ℤ/Mℤ[X] 内のペア (p̄, q̄) の持ち上げを数えることで、因数分解の数を上界で抑え込む。
• 還元写像の単射性を用いて、各このようなペアが ℛₙ*⁽𝒮⁾ 内に高々一つの多項式に持ち上がるこを示す。
• 除数関数 d(a) を用いて、定数項 a₀ および先頭係数 aₙ の可能な因数分解の数を数える。
• オイラーの恒等式 ∏ₙ₌₀ᴺ⁻¹(x⁻³ⁿ + 1 + x³ⁿ) = ∑ₙ₌₋(³ᴺ⁻¹)/²^(³ᴺ⁻¹)/² xⁿ を用いて、Y=3 と代入することで、有界な高さの整数多項式をすべて得られることを示す。
• 上界と漸近的推定 ∑ₙ≤x d(n) ∼ x log x を組み合わせ、可約性の確率が n⁻³/3ⁿ のオーダーで減少することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された有限集合 𝒮 に係数をとる一変数多項式で、定数項および先頭係数が非ゼロである可約多項式の最大数は何か？
• RQ2 モジュラス還元技術をどのように一般の有限係数集合へと拡張して、可約多項式の数を上界で抑えられるか？
• RQ3 {0,±1} の係数をとる二変数多項式の可約性確率は、次数が増加するにつれて 0 に収束するか？
• RQ4 オイラーの恒等式を用いて、係数集合と整数多項式の密度を関連づけ、可約性の上界を導くのに役立てることができるか？

主な発見

• 明示的な上界が確立された：|ℛₙ*⁽𝒮⁾| ≤ 4(n−1)Mⁿ⁻²(∑ₐ∈𝒮* d(a))² であり、ここで M は 𝒮 のすべての要素が M を法として互いに異なる整数である。
• この上界は、0 を除いた任意の有限集合 𝒮 ⊂ ℤ に対して有効であり、M は max𝒮 − min𝒮 + 1 として選べるし、残差が互いに異なるならばより小さい M でもよい。
• 係数が {0,±1} の二変数多項式 F(X,Y) に対して、F(X,3) が可約である確率は、n → ∞ のとき O(n³/3ⁿ) のオーダーで減少する。
• F(X,Y) = f(X)g(Y) と因数分解可能である確率は O(3⁻ⁿ²) であり、主項に比べて無視できる。
• F(X,3) が可約、F(3,Y) が可約、または F(X,Y) = f(X)g(Y) と因数分解可能であるという3つのメカニズムのいずれかによる可約性の結合確率は、n → ∞ のとき 0 に収束する。
• したがって、{0,±1} の係数をとる二変数多項式に対して、limₙ→∞ ℙ(F が可約) = 0 が成り立ち、Bary-Soroker と Kozma の結果がより広い係数集合へと拡張される。