[論文レビュー] Distributional chaos and Li-Yorke chaos in metric spaces

Marko Kostić|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2019

Holomorphic and Operator Theory参考文献 45被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、距離空間における二項関係の系列に対して、分布的カオスおよびLi-Yorkeカオスの新しい一般化を導入し、体系的に分析する。これは、Fréchet空間における多価線形作用素への先行概念の拡張である。主な貢献は、さまざまなカオス型の間の関係を確立し、密度に基づく基準と作用素の制限を用いて不規則なベクトルおよび不変多様体を特徴づける統一的枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

In this paper, we introduce several new types and generalizations of the concepts distributional chaos and Li-Yorke chaos. We consider the general sequences of binary relations acting between metric spaces, while in a separate section we focus our attention to some special features of distributionally chaotic and Li-Yorke chaotic multivalued linear operators in Frechet spaces.

研究の動機と目的

• 単一作用素に限らない分布的カオスおよびLi-Yorkeカオスの理論を、距離空間における二項関係の一般系列へと拡張すること。
• 再帰的 $\tilde{X}$-分布的カオス、$\langle\tilde{X},i\rangle$-混合、および $\tilde{X}$-Li-Yorkeカオスの新しいカオス型の定義と分析を行うこと。
• Fréchet空間における分布的およびLi-Yorkeカオス的多価線形作用素（MLO）の挙動を、不規則なベクトルおよび不変部分多様体に焦点を当てて調査すること。
• 誘導された系列 $({\mathbb{A}}_k)_{k \in \mathbb{N}}$ を用いて、全空間におけるカオスと部分集合 $\tilde{X} \subseteq X$ に制限されたカオスとの関係を確立すること。
• 抽象的力学系におけるカオスに関する今後の研究の基盤を提供する、直感的で基礎的な枠組みを構築すること、特に非有界および多価作用素の文脈で。

提案手法

• 自然数の集合の下界および上界密度を用いて、距離空間における再帰的およびシンデチックな再発性の性質を定義することで、一般化されたカオス概念を導入する。
• $\tilde{X}$-分布的カオスおよび $\tilde{X}$-Li-Yorkeカオスを、空でない部分集合 $\tilde{X} \subseteq X$ に動的挙動を制限し、軌道の分布および分離性の性質を分析することで定義する。
• 分布的不規則ベクトルおよび多様体の概念を適用し、特に不規則なベクトル $x$ から $X' = \text{span}\{x\}$ を構成することで、一様にカオス的な部分多様体を生成する。
• 誘導された系列 $({\mathbb{A}}_k)_{k \in \mathbb{N}}$ を、$D({\mathbb{A}}_k) = D({\mathcal{A}}_k) \cap \tilde{X}$ および ${{\mathbb{A}}_k}x = {\mathcal{A}}_k x$ で定義し、$\tilde{X}$ におけるカオスと全空間におけるカオスとの関係を明確にする。
• シンデチック性、上界密度および下界密度、差集合といった密度論的道具を用いて、再帰的および混合カオス型を特徴づける。
• 分布的カオスの型 $s \in \{1,2,2\frac{1}{2},3\}$ を含むカオス型の階層を提案し、命題4.10を用いて $({\mathcal{A}}_k)$ と $({\mathbb{A}}_k)$ におけるカオスの同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布的カオスおよびLi-Yorkeカオスは、単一作用素から逸脱して、距離空間における二項関係の系列へとどのように一般化可能か？
• RQ2 誘導された系列 $({\mathbb{A}}_k)$ の文脈において、$\tilde{X}$-分布的カオスと標準的分布的カオスの関係は何か？
• RQ3 不規則なベクトルおよびその線形包は、Fréchet空間における分布的またはLi-Yorkeカオス的部分多様体をどのように生成するか？
• RQ4 再帰的および混合カオス型（$\langle\tilde{X},i\rangle$-混合、$(\tilde{X},j)$-混合）は、古典的カオス概念をどのように精緻化または拡張するか？
• RQ5 この枠組みは非有界または多価線形作用素へと拡張可能か？また、そのハイパーサイクル性およびスペクトル論的理論に与える影響は何か？

主な発見

• 命題4.10で形式化された通り、ベクトル $x$ が $({\mathcal{A}}_k)_{k \in \mathbb{N}}$ に対して（再帰的に）$\tilde{X}$-分布的不規則ベクトルであることは、誘導された系列 $({\mathbb{A}}_k)_{k \in \mathbb{N}}$ に対して（再帰的に）分布的不規則ベクトルであることと同値である。
• $x \in \tilde{X} \cap \bigcap_{k=1}^\infty D({\mathcal{A}}_k)$ を満たす（再帰的に）$\tilde{X}$-分布的不規則ベクトル $x$ の線形包 $X' = \text{span}\{x\}$ は、$({\mathcal{A}}_k)_{k \in \mathbb{N}}$ に対して一様（再帰的に）$\tilde{X}$-分布的不規則多様体を形成する。
• 本稿は、分布的カオスおよびLi-Yorkeカオスが有限次元空間でも発生しうることを示しており、簡単な反例によって、このようなカオスが無限次元設定を必要とするという直感に反する。
• Fréchet空間における多価線形作用素に対しては、不規則ベクトルおよびそれらに関連する部分多様体の存在が、元の系のカオス的性質を継承する誘導作用素系列 $({\mathbb{A}}_k)$ の構造と関連している。
• 本フレームワークにより、$s \in \{1,2,2\frac{1}{2},3\}$ に対して $\tilde{X}$-Li-Yorkeカオスおよび $\tilde{X}$-分布的カオスの型 $s$ を定義可能であり、これはBanach空間から一般距離空間への先行結果の拡張である。
• 本稿は、$\tilde{X}$-Li-Yorke不規則多様体が $\tilde{X}$-スクラムブル集合と同値であり、混合カオス型に対しても同様の同値性が成り立つことを示しており、カオス的挙動の階層を確立している。