[論文レビュー] Distributionally Robust Bottleneck Combinatorial Problems: Uncertainty Quantification and Robust Decision Making

Weijun Xie, Jie Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2020

Risk and Portfolio Optimization参考文献 47被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Wassersteinの不確実性集合を用いた分布的にロバストなボトルネック組合せ最適化問題（DRBCP）を提案し、確率的ボトルネック最適化における不確実性に対処する。不確実性の定量化（DRBCP-U）と意思決定（DRBCP-D）の両方について、等価な混合整数計画法（MIP）への再定式化を構築し、Wasserstein半径を $ O(N^{-1/2}) $ のオーダーに設定できることを示し、最小限の過剰な保守性でロバスト性を向上させる。この手法は $ \text{DR}\text{-}\text{BCP-}\text{D} $ および $ \text{DR}\text{-}\text{BCP-}\text{D} $ に拡張され、意思決定ロバストモデルは混合整数2次錐計画法（MISOCP）として定式化される。

ABSTRACT

This paper studies data-driven distributionally robust bottleneck combinatorial problems (DRBCP) with stochastic costs, where the probability distribution of the cost vector is contained in a ball of distributions centered at the empirical distribution specified by the Wasserstein distance. We study two distinct versions of DRBCP from different applications: (i) Motivated by the multi-hop wireless network application, we first study the uncertainty quantification of DRBCP (denoted by DRBCP-U), where decision-makers would like to have an accurate estimation of the worst-case value of DRBCP. The difficulty of DRBCP-U is to handle its max-min-max form. Fortunately, the alternative forms of the bottleneck combinatorial problems from their blockers allow us to derive equivalent deterministic reformulations, which can be computed via mixed-integer programs. In addition, by drawing the connection between DRBCP-U and its sampling average approximation counterpart under empirical distribution, we show that the Wasserstein radius can be chosen in the order of negative square root of sample size, improving the existing known results; and (ii) Next, motivated by the ride-sharing application, decision-makers choose the best service-and-passenger matching that minimizes the unfairness. This gives rise to the decision-making DRBCP (denoted by DRBCP-D). For DRBCP-D, we show that its optimal solution is also optimal to its sampling average approximation counterpart, and the Wasserstein radius can be chosen in a similar order as DRBCP-U. When the sample size is small, we propose to use the optimal value of DRBCP-D to construct an indifferent solution space and propose an alternative decision-robust model, which finds the best indifferent solution to minimize the empirical variance. We further show that the decision robust model can be recast as a mixed-integer program.

研究の動機と目的

• 分布的不確実性下でのボトルネック組合せ最適化問題に対するデータ駆動型ロバスト最適化フレームワークの構築を目的とする。
• 多ホップ無線ネットワークにおける確率的リンクコストを含む応用分野向けに、正確な最悪ケース値の推定（DRBCP-U）を提供すること。
• ライドシェアリングや臓器配分における公平な意思決定（DRBCP-D）を支援し、最悪ケースのボトルネックコストを最小化すること。
• ロバスト性と保守性のバランスを取るためのWasserstein半径に関する理論的保証を確立すること。
• $ \theta $ 個の最大コストの和を最小化することを目的とする $ \text{DR}\text{-}\text{BCP-}\text{D} $ にフレームワークを拡張すること。

提案手法

• 経験分布を中心とするWasserstein不確実性集合を用い、確率的ボトルネック問題における分布的不確実性をモデル化する。
• クラッターおよびブロッキングシステムの双対性を用いて、DRBCP-UおよびDRBCP-Dの等価な決定的再定式化を導出し、混合整数計画法による解法を可能にする。
• DRBCPとそのサンプリング平均近似（SAA）解法との関係を確立し、$ O(N^{-1/2}) $ のWasserstein半径の妥当性を裏付ける。
• 小標本における信頼性の低いSAA解に対して、SAA解によって定義される無差別解空間上での経験的分散を最小化する意思決定ロバストモデルを提案する。
• エピグラフ的およびビッグ・M再定式化を用いて、意思決定ロバストモデルを混合整数2次錐計画法（MISOCP）に再定式化する。
• DRBCP-Dのフレームワークを、$ \theta $ 個の最大コストの和を最小化することを目的とする問題に拡張し、類似の再定式化手法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布的不確実性下で、確率的ボトルネック組合せ最適化問題の最悪ケース値を信頼性高く定量化する方法は何か？
• RQ2 真のコスト分布が不確実な状況下で、最悪ケースのボトルネックコストを最小化する最適な意思決定は何か？
• RQ3 Wasserstein半径を保守的に選んでも、ロバスト解の統計的信頼性を保証できるか？
• RQ4 SAA解が信頼性の低い小標本環境でも、ロバスト性を維持する方法は何か？
• RQ5 最大コストのみではなく、$ \theta $ 個の最大コストの和を最小化する問題に、このフレームワークを拡張できるか？

主な発見

• DRBCP-UおよびDRBCP-Dは、クラッターおよびブロッキングシステムの双対性を用いた等価な混合整数計画法（MIP）再定式化を有する。
• Wasserstein半径を $ O(N^{-1/2}) $ のオーダーに設定可能であり、これにより先行研究より過剰な保守性が低減され、統計的信頼性が保証される。
• DRBCP-Dの最適解は、同じ半径のもとでそのサンプリング平均近似（SAA）解に対しても最適である。
• 小標本では、提案された意思決定ロバストモデルが、SAA解によって定義される無差別解空間上での経験的分散を最小化し、混合整数2次錐計画法（MISOCP）に再定式化される。
• $ \text{DR}\text{-}\text{BCP-}\text{D} $ のための意思決定ロバストモデルは、サブガウス型コストの仮定の下で、分布のシフトに対しても高い確率で解がロバストであることを保証する。
• 理論的信頼区間によれば、選択された半径のもとで、真の最悪ケース値がDRBCP-Dの解から $ 2\theta $ の範囲内にある確率が非常に高い。