[論文レビュー] Division Algebras, Supersymmetry and Higher Gauge Theory

John Huerta|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2011

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 49被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、ノルム付き除法代数、超対称性、および高階ゲージ理論の間の深い関係を確立する。3次コサイクルと4次コサイクルを用いて、次元3, 4, 6, 10（3次コサイクルを介して）および4, 5, 7, 11（4次コサイクルを介して）におけるポアンカレ超代数上のコサイクルから、Lie n超代数を構成する。これらはノルム付き除法代数に結びついたスピンルール恒等式に由来する。本論文は、ポアンカレ超群を拡張する可積分なLie 2超群およびLie 3超群の存在を証明し、これらの次元における超ひもおよび2-braneの高階対称性の幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

From the four normed division algebras--the real numbers, complex numbers, quaternions and octonions, of dimension k=1, 2, 4 and 8, respectively--a systematic procedure gives a 3-cocycle on the Poincare superalgebra in dimensions k+2=3, 4, 6 and 10, and a 4-cocycle on the Poincare superalgebra in dimensions k+3=4, 5, 7 and 11. The existence of these cocycles follow from spinor identities that hold only in these dimensions, and which are closely related to the existence of the superstring in dimensions k+2, and the super-2-brane in dimensions k+3. In general, an (n+1)-cocycle on a Lie superalgebra yields a `Lie n-superalgebra': that is, roughly, an n-term chain complex equipped with a bracket satisfying the axioms of a Lie superalgebra up to chain homotopy. We thus obtain Lie 2-superalgebras extending the Poincare superalgebra in dimensions k+2, and Lie 3-superalgebras extending the Poincare superalgebra in dimensions k+3. We present evidence, based on the work of Sati, Schreiber and Stasheff, that these Lie n-superalgebras describe infinitesimal `higher symmetries' of the superstring and 2-brane. Generically, integrating a Lie n-superalgebra to a Lie n-supergroup yields a `Lie n-supergroup' that is hugely infinite-dimensional. However, when the Lie n-superalgebra is obtained from an (n+1)-cocycle on a nilpotent Lie superalgebra, there is a geometric procedure to integrate the cocycle to one on the corresponding nilpotent Lie supergroup. In general, a smooth (n+1)-cocycle on a supergroup yields a `Lie n-supergroup': that is, a weak n-group internal to supermanifolds. Using our geometric procedure to integrate the 3-cocycle in dimensions k+2, we obtain a Lie 2-supergroup extending the Poincare supergroup in those dimensions, and similarly integrating the 4-cocycle in dimensions k+3, we obtain a Lie 3-supergroup extending the Poincare supergroup in those dimensions.

研究の動機と目的

• ノルム付き除法代数に関連する時空次元における高階ゲージ対称性の体系的構成を確立すること。
• ポアンカレ超代数上の3次および4次コサイクルの存在が、次元3, 4, 6, 10および4, 5, 7, 11に特有のスピンルール恒等式に由来することを示すこと。
• これらのコサイクルからLie n超代数を構成し、超ひもおよび2-braneの無限小高階対称性をモデル化すること。
• ノルム付きLie n超代数をLie n超群に幾何学的に統合する手続きを開発すること。
• 統合されたコサイクルがローレンツ群の作用に対して不変であることを証明し、これによりポアンカレ超群全体への拡張を可能にすること。

提案手法

• 次元k = 1, 2, 4, 8の4つのノルム付き除法代数（実数、複素数、ケイリー数、オクトニオン）を用いて、時空次元k+2およびk+3を生成する。
• これらの次元におけるスピンルール恒等式を応用し、ポアンカレ超代数上に(n+1)-コサイクルを構成し、これによりLie n超代数を得る。
• Lie超代数コホモロジーを用いて、括弧がホモトピーLie超代数公理を満たすチェイン複体としてLie n超代数を定義する。
• ノルム付きLie超代数をNilpotent Lie超群に幾何学的に統合する手続きを導入し、単体的統合を介してコサイクルをLie超代数からLie超群へ持ち上げる。
• ノルム付きLie超群上に標準的な左不変単体を用い、統合されたコサイクルが群作用に対してG不変であることを証明する。
• ローレンツ群との半直積構造を用いて、統合されたコサイクルを超移動群からポアンカレ超群全体へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 除法代数はどのように、超ひもおよび2-braneが存在する時空次元を生じさせるのか？
• RQ2 次元3, 4, 6, 10における3次コサイクルおよび次元4, 5, 7, 11における4次コサイクルの代数的起源は何か？
• RQ3 これらのコサイクルから構成されたLie n超代数は、Lie n超群に統合可能か？
• RQ4 統合されたコサイクルがローレンツ群作用に対して不変であることはどのように確立されるか？
• RQ5 これらの高階対称性の幾何的意義は、超重力理論およびM理論において何を意味するのか？

主な発見

• 次元3, 4, 6, 10におけるポアンカレ超代数上の3次コサイクルは、次元k = 1, 2, 4, 8のノルム付き除法代数に結びついたスピンルール恒等式に由来する。
• 次元4, 5, 7, 11における4次コサイクルも同様に、同じ代数的構造に由来し、これによりスーパーブラケット2-braneの存在と関連づけられる。
• 3次コサイクルからLie 2超代数が構成され、次元k+2における超ひもの無限小対称性をモデル化する。
• 4次コサイクルからLie 3超代数が構成され、次元k+3における2-braneの無限小対称性をモデル化する。
• 超移動群T上の3次コサイクル∫αは、Spin(k+1,1)の作用に対して不変であり、これによりポアンカレ超群SISO(k+1,1)への拡張が可能となる。
• T上の4次コサイクル∫βは、Spin(k+2,1)に対して不変であり、これによりSISO(k+2,1)への拡張が可能となり、超ひもLie 2超群および2-brane Lie 3超群の構成が可能となる。