[論文レビュー] Dominator Tree Certification and Independent Spanning Trees

Loukas Georgiadis, Robert E. Tarjan|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2012

Advanced Database Systems and Queries参考文献 54被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、流れグラフにおける支配木の正しさを検証可能な線形時間の検証器を提示する。この検証器は、正しさの証明書を導入することで、木の正確性を効率的に検証可能にする。また、低ハイ順序を用いて独立な全域木を構築するためのアルゴリズムを開発し、頂点に交わらないパス問題に応用する。これらのアルゴリズムはすべて線形時間で動作し、従来の2次時間の手法を改善する。

ABSTRACT

How does one verify that the output of a complicated program is correct? One can formally prove that the program is correct, but this may be beyond the power of existing methods. Alternatively one can check that the output produced for a particular input satisfies the desired input-output relation, by running a checker on the input-output pair. Then one only needs to prove the correctness of the checker. But for some problems even such a checker may be too complicated to formally verify. There is a third alternative: augment the original program to produce not only an output but also a correctness certificate, with the property that a very simple program (whose correctness is easy to prove) can use the certificate to verify that the input-output pair satisfies the desired input-output relation. We consider the following important instance of this general question: How does one verify that the dominator tree of a flow graph is correct? Existing fast algorithms for finding dominators are complicated, and even verifying the correctness of a dominator tree in the absence of additional information seems complicated. We define a correctness certificate for a dominator tree, show how to use it to easily verify the correctness of the tree, and show how to augment fast dominator-finding algorithms so that they produce a correctness certificate. We also relate the dominator certificate problem to the problem of finding independent spanning trees in a flow graph, and we develop algorithms to find such trees. All our algorithms run in linear time. Previous algorithms apply just to the special case of only trivial dominators, and they take at least quadratic time.

研究の動機と目的

• 流れグラフにおける高速だが複雑な支配木アルゴリズムの正しさを検証する課題に対処すること。
• 元のアルゴリズムの形式的検証を必要とせず、正しさの証明書を用いて単純かつ効率的な検証器を設計すること。
• 支配木の検証と、頂点に交わらないパス問題を解くための独立な全域木の構築を関連付けること。
• 支配木および独立な全域木を計算する線形時間のアルゴリズムを開発し、従来の2次時間の手法を改善すること。
• 支配木の低ハイ順序と強独立な全域木の構築との関係を明らかにすること。

提案手法

• 支配木の正しさを検証可能な正しさの証明書を導入し、単純で線形時間の検証器が木の正確性を検証可能であるようにする。
• 高速な支配木探索アルゴリズムを拡張し、支配木とともに証明書を出力することで、複雑なアルゴリズムを再実行せずに正しさを保証する。
• 支配木の低ハイ順序を用いて独立な全域木の構築を誘導し、頂点に交わらないパスの検出を効率的に行う。
• 導出されたグラフとトポロジカル順序を用いて、支配木と低ハイ順序から2つの強独立な全域木（青と赤）を構築する。
• 出力された構造を用いて、出発頂点の異なる子がソース頂点を支配しているかどうかを確認することで、2つの頂点に交わらないパス問題を線形時間で解く。
• 検証器を用いて、支配木アルゴリズムの出力を線形時間で検証し、元のアルゴリズムとは独立して正しさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 支配木に対して、その有効性を単純で容易に証明可能な線形時間アルゴリズムで検証可能な正しさの証明書を構築できるか？
• RQ2 独立な全域木の構築を、支配木の構造と低ハイ順序とどのように関連付けることができるか？
• RQ3 インクリメンタルまたは反復的な支配木探索アルゴリズムを拡張し、支配木の低ハイ順序を同時に計算できるか？
• RQ4 提案手法により構築された独立な全域木は、より強い性質である「強独立性」を満たすか？
• RQ5 系統的なアルゴリズム的手順を用いて、低ハイ順序から直接独立な全域木を生成できるか？

主な発見

• 本稿では、正しさの証明書を用いた線形時間の支配木検証器を提示し、木の正確性を効率的かつ単純に検証可能にする。
• 提案された検証器は線形時間で動作し、複雑な支配木探索アルゴリズムの形式的検証を必要としない。
• 低ハイ順序を用いた独立な全域木の構築により、有向グラフにおける2つの頂点に交わらないパス問題を線形時間で解ける。
• 独立な全域木を構築するアルゴリズムは線形時間で動作し、従来の2次時間の手法を改善する。
• 実験の結果、アルゴリズムによって構築された木は強独立である可能性が高いが、これはまだ証明されていない。
• 本手法は、最短パス木や追加のグラフ変換などの中間ステップを複数必要としない直接的な代替手法を提供する。