[論文レビュー] Donaldson-Witten theory, surface operators and mock modular forms

Georgios Korpas|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 46被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ドナルドソン＝ウィッテン理論における表面演算子を埋め込んだu平面積分を、$\bar{\nabla}$-正確な変形を導入することで再解釈する。これにより、被積分関数が不定的・theta関数の全微分として表現され、具体的には混合モックモジュラー形式となる。ケーラー多様体でKodaira次元が$-\infty$である場合、積分はクーロン枝の無限大における尖点に局在化し、トポロジカル不変量とモックモジュラー形式の深い関係が明らかになる。

ABSTRACT

We revisit the $u$-plane integral of the topologically twisted $\mathcal{N}=2$ super Yang-Mills theory, the Donaldson-Witten theory, on a closed four-manifold $X$ with embedded surfaces that support supersymmetric surface operators. This integral mathematically corresponds to the generating function of the ramified Donaldson invariants of $X$. By including a $\overline{\mathcal{Q}}$-exact deformation to the $u$-plane integral we are able to re-express its integrand in terms of a total derivative with respect to an indefinite theta function, a special kind of mock modular form. We show that for specific Kähler surfaces of Kodaira dimension $-\infty$ the integral localizes at the cusp at infinity of the Coulomb branch of the theory.

研究の動機と目的

• ドナルドソン＝ウィッテン理論における表面演算子を含むu平面積分を、$\bar{\nabla}$-正確な変形を用いて再定式化すること。
• 変形された被積分関数を、混合モックモジュラー形式である不定的・theta関数を含む全微分として表現すること。
• 得られた対象のモジュラー性および$\sigma L(2,\mathbb{Z})$におけるそのシャドウの性質を分析すること。
• ケーラー多様体でKodaira次元が$-\infty$である場合に、u平面積分が無限大における尖点に局在化することを示すこと。
• 誤差関数の解析的接続が、theta関数の収束性およびモジュラー完備化に果たす役割を明確にすること。

提案手法

• トポロジカルにねじれた$\chi=2$超ヤン・ミルズ理論におけるu平面積分に、$\bar{\nabla}$-正確な変形を導入する。
• 変形された被積分関数を、符号$(1,1)$の不定的・theta関数（混合モックモジュラー形式）に関する全微分として再表現する。
• 収束を保証するために、誤差関数$E(u) = 2\int_0^u e^{-\pi t^2} dt$を用いたtheta関数のモジュラー完備化を活用する。
• $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$の生成子$T$および$S$における完備theta関数のモジュラー変換性を導出し、位相因子およびシフトを含む変換則を示す。
• 完備theta関数のシャドウを、$\Psi_{\bm{\mu}}^J - \Psi_{\bm{\mu}}^{J'}$という2つのシーゲル＝ナラインtheta関数の差として同定し、非正則的性質を支配する。
• $\tau_2 \to \infty$の極限において、誤差関数が符号関数に簡略化され、$J$および$J'$によって定義される正の錐内の格子点への和に簡略化されたtheta関数が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドナルドソン＝ウィッテン理論におけるu平面積分は、$\pi$-正確な変形を用いてどのように再表現可能であり、そのモジュラー性がどのように明らかになるか？
• RQ2 誤差関数による完備化を伴う不定的・theta関数は、分岐ドナルドソン不変量の母関数を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ3 完備theta関数のモジュラー変換性は、理論の物理的クーロン枝構造とどのように関係しているか？
• RQ4 u平面積分が無限大における尖点に局在化する条件は何か？そして、Kodaira次元が$-\infty$であるケーラー多様体において、その局在化の意義は何か？
• RQ5 この文脈において、モックモジュラー形式のシャドウとシーゲル＝ナラインtheta関数との正確な関係は何か？

主な発見

• ケーラー多様体でKodaira次元が$-\infty$である場合、u平面積分はクーロン枝の無限大における尖点に局在化し、主な寄与は大複素構造極限から来ることを示唆する。
• u平面積分の被積分関数は、誤差関数$E(u)$を含む完備不定的・theta関数の全微分として再表現され、これは混合モックモジュラー形式である。
• 完備theta関数のシャドウは、$\partial_{\bar{\tau}}\widehat{\Theta}_{\bm{\mu}}^{JJ'} = \Psi_{\bm{\mu}}^J - \Psi_{\bm{\mu}}^{J'}$で与えられ、ここで$\Psi_{\bm{\mu}}^J$は格子$\Lambda$に関連するシーゲル＝ナラインtheta関数である。
• 格子に$Q(J') = 0$を満たす零ベクトル$J'$が存在する場合、$\tau_2 \to \infty$の極限で誤差関数は符号関数に簡略化され、完備theta関数の簡略化された表現が得られる。
• 完備theta関数のモジュラー変換性は明示的に導出され、$T$および$S$が$\bm{\mu}$および$K$を含む位相シフトおよび引数変換を介して作用することが示された。
• 系列は、$J'$が格子$\Lambda$のベクトルである場合にのみ収束する。そうでない場合、完備化が収束しないため、[71, Appendix B.3]で示されたように失敗する。