[論文レビュー] Double Fell bundles over discrete double groupoids with folding

Rachel A. D. Martins|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、折りたたみ付きの離散二重群体の上に二重フェルバンドルおよび二重C*-カテゴリを導入し、二重フェルラインバンドルの切断と群体の畳み込み代数の間の対応を確立する。GNS構成を二重C*-カテゴリの設定に一般化し、ドミナント・トミタ＝タケサキ対応を用いて双対カテゴリを構成することで、有限次元における非可換空間のモデル化のための枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this paper we construct the notions of double Fell bundle and double C*-category for possible future use as tools to describe noncommutative spaces, in particular in finite dimensions. We identify the algebra of sections of a double Fell line bundle over a discrete double groupoid with folding with the convolution algebra of the latter. This turns out to be what one might call a double C*-algebra. We generalise the Gelfand-Naimark-Segal construction to double C*-categories and we form the dual category for a saturated double Fell bundle using the Tomita-Takesaki involution.

研究の動機と目的

• 非可換空間を記述するための、二重フェルバンドルおよび二重C*-カテゴリを用いたカテゴリカルな枠組みの構築を目的とする。
• 離散二重群体に折りたたみを施した状況下で、二重フェルラインバンドルの切断の代数とその群体の畳み込み代数との関係を確立することを目的とする。
• ゲルファンド＝ナイマーク＝セーガール構成を二重C*-カテゴリの設定に一般化することを目的とする。
• トミタ＝タケサキ対応を用いて、飽和した二重フェルバンドルのための双対カテゴリを定義することを目的とする。
• 代数的およびカテゴリカルな構造を用いて、有限次元非可換幾何学のための基盤的ツールを提供することを目的とする。

提案手法

• 折りたたみ付きの離散二重群体の上に二重フェルバンドルを構成し、フェルバンドルの概念を高次元カテゴリカル構造へと拡張する。
• C*-カテゴリの一般化として、二重群体の設定における二重C*-カテゴリを定義する。
• 二重フェルラインバンドルの切断の代数を、対応する二重群体の畳み込み代数と同一視する。
• 表現論的枠組みを高次元へと拡張することで、二重C*-カテゴリにおけるGNS構成の一般化を実現する。
• トミタ＝タケサキ理論を応用し、モジュラー自己同型群を用いて、飽和した二重フェルバンドルの双対カテゴリを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 折りたたみ付きの離散二重群体の上に二重フェルバンドルをどのように定義すれば、非可換空間をモデル化できるか？
• RQ2 このような群体上の二重フェルラインバンドルの切断の代数的構造はどのようなものか？
• RQ3 ゲルファンド＝ナイマーク＝セーガール構成を二重C*-カテゴリの設定に拡張することは可能か？
• RQ4 トミタ＝タケサキ対応は、飽和した二重フェルバンドルの双対カテゴリをどのように導くか？
• RQ5 折りたたみは、二重群体そのものおよび関連する代数的構造にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 折りたたみ付きの離散二重群体の上に定義された二重フェルラインバンドルの切断の代数は、その群体の畳み込み代数と同型である。
• 得られる代数的構造は、二重カテゴリカルな設定におけるC*-代数の一般化としての二重C*-代数として特定される。
• ゲルファンド＝ナイマーク＝セーガール構成は、二重C*-カテゴリの設定に成功裏に一般化され、表現論的解析を可能にする。
• トミタ＝タケサキ対応を用いて、飽和した二重フェルバンドルの双対カテゴリが構成され、双対性の枠組みが提供される。
• 本フレームワークは、有限次元非可換空間をモデル化するための、新たな代数的およびカテゴリカルなツールセットを提供する。