[論文レビュー] Double logarithmic stability estimate in the identification of a scalar potential by a partial elliptic Dirichlet-to-Neumann map

Mourad Choulli, Yavar Kian+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2015

Numerical methods in inverse problems参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、境界の一部からのDirichlet-to-Neumann写像を用いた、定常シュレーディンガー方程式におけるスカラー型ポテンシャルを同定する逆問題に対して、二重対数的安定性評価を確立する。複素幾何学的光線解（CGO解）とAlessandriniの恒等式を用いて、Sobolev空間および$L^\infty$正則性制約の下で、$L^2$および$H^{-1}$ノルムにおける安定性バインディングを導出する。ポテンシャルの差は、DN写像ノルムの二重対数的項によって制御されると示されている。

ABSTRACT

We examine the stability issue in the inverse problem of determining a scalar potential appearing in the stationary Schr{ö}dinger equation in a bounded domain, from a partial elliptic Dirichlet-to-Neumann map. Namely, the Dirichlet data is imposed on the shadowed face of the boundary of the domain and the Neumann data is measured on its illuminated face. We establish a log log stability estimate for the L2-norm (resp. the H minus 1-norm) of bounded (resp. L2) potentials whose difference is lying in any Sobolev space of order positive order.

研究の動機と目的

• 部分境界測定値からシュレーディンガー方程式におけるスカラー型ポテンシャルを回復する逆問題の安定性評価を確立すること。
• 部分Dirichlet-to-Neumann写像からの測定誤差に起因するポテンシャル再構成誤差の依存関係を定量化すること。
• 正則性制約の下で、ポテンシャル差の$L^2$および$H^{-1}$ノルムに対する安定性結果を拡張すること。
• 導電率イメージングへの応用を含め、部分データ設定における逆問題の一意性および安定性の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 著者らは、境界の一部で消える複素幾何学的光線（CGO）解を用いてポテンシャルを調べる。
• Alessandriniの恒等式を適用し、積分恒等式を通じてDN写像の差とポテンシャルの差を関連付ける。
• 解の挙動を制御するため、適切に選ばれた周波数集合におけるフーリエ係数のバインディングを導出する。
• Sobolev空間におけるエネルギー推定と補間技法を用いて、安定性不等式を確立する。
• 証明は、$H_{\Delta}(\Omega)$における転置解に依存し、$H^{-1/2}(\Gamma)$および$H^{1/2}(G)$におけるDN写像の有界性に依存する。
• 変数変換およびDN写像の変換を用いて、導電率問題への証明の拡張がなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分Dirichlet-to-Neumannデータからのスカラー型ポテンシャル同定の逆問題に対して、二重対数的安定性評価を確立できるか。
• RQ2 ポテンシャル再構成の安定性は、ポテンシャルの正則性および測定誤差にどのように依存するか。
• RQ3 部分境界データしか利用できない場合に、達成可能な最良の安定性レートは何か。
• RQ4 $H^{-1}$ノルムおよびポテンシャルの$L^\infty$正則性に拡張できるか。
• RQ5 部分測定下における安定性評価は、導電率逆問題とどのように関係するか。

主な発見

• 本稿では二重対数的安定性評価を確立する：$\|q_1 - q_2\|_{L^2(\Omega)} \leq c\left(\|\widetilde{\Lambda}_{q_1,q_2}\| + \left|\ln \tilde{c} \left|\ln \|\widetilde{\Lambda}_{q_1,q_2}\|\right|\right|^{-t}\right)$ for $t > 0$。
• $H^{-1}$ノルムにおいては、安定性評価は $\|q_1 - q_2\|_{H^{-1}(\Omega)} \leq c\left(\|\widetilde{\Lambda}_{q_1,q_2}\| + \left|\ln \tilde{c} \left|\ln \|\widetilde{\Lambda}_{q_1,q_2}\|\right|\right|^{-1}\right)$ である。
• 安定性定数$c$および$\tilde{c}$は、正則性バインディング$\delta$およびSobolev指数$t$にのみ依存する。
• 条件$q_1, q_2 \in \mathcal{Q} \cap \delta B_{L^\infty(\Omega)}$および$(q_2 - q_1)\chi_\Omega \in \delta B_{H^t(\mathbb{R}^n)}$の下で成立する。
• 導電率問題への応用により、$L^2$ノルムにおける導電率差についても同様の二重対数的安定性評価が得られる。
• 導電率およびその法線方向微分が境界および照照明面で一致するという仮定の下で、安定性評価は安定である。