[論文レビュー] Double quantization on coadjoint representations of simple Lie groups and its orbits

J. Donin|ArXiv.org|Sep 27, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、単純なリー群 $G$ の共随伴表現 $ꪪ^*$ の二重量子化 $ꪪ_{t,h}$ を構築し、$U_h(\mathfrak{g})$-不変性を保った。二パラメータ量子化を確立し、$\uAaAa_{t,0}$ が $G$-不変なポアソン括弧 $s$ の $G$-不変な変形を回復することを示し、量子群の対称性を用いた半単純共随伴軌道の量子化の体系的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Let M be a manifold with an action of a Lie group G, $\A$ the function algebra on M. The first problem we consider is to construct a $U_h(\g)$ invariant quantization, $\A_h$, of $\A$, where $U_h(\g)$ is a quantum group corresponding to G. Let s be a G invariant Poisson bracket on M. The second problem we consider is to construct a $U_h(\g)$ invariant two parameter (double) quantization, $\A_{t,h}$, of $\A$ such that $\A_{t,0}$ is a G invariant quantization of $s$. We call $\A_{t,h}$ a $U_h(\g)$ invariant quantization of the Poisson bracket s. In the paper we study the cases when G is a simple Lie group and $M$ is the coadjoint representation $\g^*$ of G or a semisimple orbit in this representation. The paper is founded on the papers: J.Donin, Double quantization on the coadjoint representation of $sl(n)^*$, Czechoslovak J. of Physics, 47 (1997), no 11, 1115-1122, q-alg/9707031, and J.Donin, D.Gurevich, and S.Shnider, Double Quantization on Some Orbits in the Coadjoint Representations of Simple Lie Groups, Com. Math. Phys., 204 (1999), no. 1, 39-60, math/9807159, and contains some additional results.

研究の動機と目的

• 単純リー群 $G$ の共随伴表現の関数代数 $\uAaAa$ の $U_h(\mathfrak{g})$-不変な二パラメータ量子化 $\uAaAa_{t,h}$ を構築すること。
• 古典的極限 $\uAaAa_{t,0}$ が $\uAaAa^*$ 上の $G$-不変なポアソン括弧 $s$ の $G$-不変な量子化を回復することを保証すること。
• 以前の $sl(n)^*$ や他の軌道における二重量子化の結果を、一般の半単純共随伴軌道 $\uAaAa^*$ にまで拡張すること。
• 量子群の対称性を用いた共随伴軌道上のポアソン構造の量子化の統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• 単純リー群 $G$ に関連する量子群 $U_h(\mathfrak{g})$ を用いて、量子化プロセスにおける対称性を保証する。
• パラメータ $t$ と $h$ を用いた、$\uAaAa^*$ 上の関数代数の変形として二重量子化 $\uAaAa_{t,h}$ を構築する。
• 古典的ポアソン括弧 $s$ と量子代数 $\uAaAa_{t,h}$ の両方に $U_h(\mathfrak{g})$-不変性を課す。
• 量子代数および表現論の技術を用いて、共随伴軌道上に整合性のある代数的構造を定義する。
• $sl(n)^*$ や軌道の量子化に関する先行研究の基礎的結果に依拠し、それを一般の半単純軌道へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純リー群 $G$ の共随伴表現 $\uAaAa^*$ 上に、$U_h(\mathfrak{g})$-不変な二重量子化を体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 古典的極限 $\uAaAa_{t,0}$ が与えられた $G$-不変なポアソン括弧 $s$ の $G$-不変な量子化を回復するための条件は何か？
• RQ3 本研究の結果は、$sl(n)^*$ や他の特定の軌道における以前の二重量子化構成をどのように一般化するか？
• RQ4 二重量子化 $\uAaAa_{t,h}$ は、$\uAaAa^*$ 内の半単純共随伴軌道の幾何をどのように表現するか？

主な発見

• 本論文は、任意の単純リー群 $G$ の共随伴表現 $\uAaAa^*$ に対して、$U_h(\mathfrak{g})$-不変な二重量子化 $\uAaAa_{t,h}$ を構築した。
• 古典的極限 $\uAaAa_{t,0}$ は、$G$-不変なポアソン括弧 $s$ の $G$-不変な量子化を回復し、必要な変形性を満たす。
• 以前の $sl(n)^*$ や他の軌道に関する結果を一般の半単純共随伴軌道 $\uAaAa^*$ へと拡張した。
• 二重量子化は量子群の対称性を常に保ち、表現論的構造と整合性を持つことを保証した。