[論文レビュー] Double variational principle for mean dimension

Elon Lindenstrauss, Masaki Tsukamoto|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、力学系における平均次元とレート・ディストอรーション理論を結びつける二重変分原理を確立し、マーカー性質を有する系について、平均次元が、計量と不変測度の上でのレート・ディストォーション次元のミニマックス値に等しいことを証明している。この結果は、エルゴディック理論、レート・ディストォーション理論、および幾何的測度論を統合し、平均次元が計量の選択と測度論的複雑さの最適なトレードオフによって特徴づけられることを示している。

ABSTRACT

We develop a variational principle between mean dimension theory and rate distortion theory. We consider a minimax problem about the rate distortion dimension with respect to two variables (metrics and measures). We prove that the minimax value is equal to the mean dimension for a dynamical system with the marker property. The proof exhibits a new combination of ergodic theory, rate distortion theory and geometric measure theory. Along the way of the proof, we also show that if a dynamical system has the marker property then it has a metric for which the upper metric mean dimension is equal to the mean dimension.

研究の動機と目的

• 位相的力学系における平均次元と情報理論からのレート・ディストォーション次元を結ぶ変分原理を確立すること。
• 平均次元が純粋に測度論的不変量によって記述できないことから、情報理論的量によって平均次元を特徴づける課題を解決すること。
• マーカー性質を有する系について、平均次元が、計量と不変測度の上でのレート・ディストォーション次元のミニマックス値に等しいことを証明すること。
• このような系が、上部メトリック平均次元が平均次元に等しくなる計量をもつことを示すこと。
• エルゴディック理論、レート・ディストォーション理論、幾何的測度論の技術を、新しい枠組みで統合すること。

提案手法

• 計量 $d \in \mathscr{D}(\mathcal{X})$ と不変測度 $\mu \in \mathscr{M}^T(\mathcal{X})$ の上でのミニマックス問題を定式化し、二重変分原理を定義する。
• 情報理論的量として、$\varepsilon \to 0$ におけるレート・ディストォーション関数 $R(d,\mu,\varepsilon)$ の漸近的スケーリングに基づく、レート・ディストォーション次元 $\mathrm{rdim}(\mathcal{X},T,d,\mu)$ を用いる。
• 平均計量 $\bar{d}_N$ における被覆集合および分離集合の推定を含む、幾何的測度論の道具を用いて、測度論的複雑さを評価する。
• マーカー性質を活用し、上部メトリック平均次元 $\overline{\mathrm{mdim}}_M(\mathcal{X},\sigma,d)$ が平均次元に等しくなる計量 $d$ を構成する。
• 被覆数の緩やかな増加と、$\mathbb{T}^r^\mathbb{Z}$ 上の代数的作用の構造を用いて、メトリックエントロピーおよびレート・ディストォーション次元の下界を導出する。
• スケーリング推定と測度集中現象を用いて、$\mathrm{rdim}$ に対する上界と下界が一致することを示し、ミニマックス等式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均次元は、計量と不変測度の上でのレート・ディストォーション次元のミニマックス値として特徴づけられるか？
• RQ2 二重変分原理は、マーカー性質のような構造的仮定がなければ、すべての力学系に成立するのか？
• RQ3 マーカー性質を有する系について、上部メトリック平均次元が平均次元に等しくなる計量を構成できるか？
• RQ4 力学系におけるレート・ディストォーション次元と幾何的測度論的複雑さの関係は何か？
• RQ5 なぜこの原理のマキシマイン版は失敗するのか？ これは、平均次元におけるレート・ディストォーションの性質に何を示唆するか？

主な発見

• マーカー性質を有する任意の力学系について、平均次元は、すべての適合計量と不変測度の上での上部レート・ディストォーション次元のミニマックス値に等しい。
• ミニマックス値は達成可能であり、すべての不変測度に対して最悪のレート・ディストォーション次元を最適化する計量 $d$ が存在する。
• 適切な計量を選べば、上部メトリック平均次元を平均次元に一致させられることを示した。この結果は、幾何的測度論と被覆数推定を用いて証明された。
• $\mathbb{T}^r^\mathbb{Z}$ 上の代数的作用についてのレート・ディストォーション次元 $\mathrm{rdim}(\mathcal{X},\sigma,d,\mu)$ は、プロディメンジョン $\mathrm{prodim}(\mathcal{X})$ によって下から抑えられ、これは平均次元に等しい。
• マキシマイン版の原理は、すべての系についてゼロを返すため、固定された測度に対して計量を最小化することは、平均次元を捉えることができない。
• 証明により、エルゴディック理論、レート・ディストォーション理論、幾何的測度論の間の新しい相互作用が確立され、特に平均計量下での分離集合の推定と測度の崩壊に関する評価を通じて示された。