[論文レビュー] Doubling Constructions and Tensor Product $L$-Functions: coverings of the symplectic group

Eyal Kaplan|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2019

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ひとこと要約

本稿は、m重被覆のシンプレクティック群 Sp_{2n} 上の真の無限小的正則モジュラー形式表現 π と、GL_k の被覆上の真の無限小的正則モジュラー形式表現 τ の対の部分 L 関数について、任意のランクのねじれに拡張された二重化法を用いた積分表現を構築する。主な貢献は、'ほぼエラー関数的積'構造を与えるグローバル恒等式の確立と、非分岐データにおける局所積分の明示的計算であり、これにより局所因子の解析的定義と一般線型群へのシャムーラ型の持ち上げの可能性が得られる。

ABSTRACT

In this work we develop an integral representation for the partial $L$-function of a pair $π imesτ$ of genuine irreducible cuspidal automorphic representations, $π$ of the $m$-fold covering of Matsumoto of the symplectic group $Sp_{2n}$, and $τ$ of a certain covering group of $GL_k$, with arbitrary $m$, $n$ and $k$. Our construction is based on the recent extension by Cai, Friedberg, Ginzburg and the author, of the classical doubling method of Piatetski-Shapiro and Rallis, from rank-$1$ twists to arbitrary rank twists. We prove a basic global identity for the integral and compute the local integrals with unramified data. Possible applications include an analytic definition of local factors for representations of covering groups, and a Shimura type lift of representations from covering groups to general linear groups.

研究の動機と目的

• 被覆群の任意のランクねじれに拡張された二重化法を一般化し、古典的なランク1の場合を越えて展開すること。
• Sp_{2n} の m 重被覆上の真の無限小的正則表現 π と、GL_k の被覆上の表現 τ の対 (π × τ) の部分 L 関数に対する積分表現を構築すること。
• グローバル恒等式を証明し、その積分が 'ほぼエラー関数的積' 構造を持つこと、すなわち非分岐局所積分の無限積と、分岐またはアーチメデス的場所における有限積分の組み合わせとなること。
• データが非分岐である場合の局所積分を明示的に計算し、局所 L 因子の定義の土台を提供すること。
• 被覆群から一般線型群への一般化されたシャムーラ型持ち上げを、積分表現と逆定理を用いて構築する基盤を築くこと。

提案手法

• ピアテツキ＝シャポロとラリスの古典的二重化法を、シンプレクティック群および一般線型群の m 重被覆に拡張し、誘導データとして一般化されたスペフ表現を用いる。
• 標準的な L 関数を超えたテンソル積 L 関数に到達するため、イーゼンスタイン級数に追加のフーリエ係数を適用する。
• メタプレクティック被覆群 H(A) にグローバルな 2-コサイクル構造を用い、η× や η♢_d などの 1-コチェーンを用いて明示的な分割を定義する。
• 非分岐標準的系列表現 IG^{(m)}(ϑ,μ) および IGL^{(m,r)}_d(ϑ,χ) を用いて局所成分をモデル化し、ホイットカー汎関数を計算する。
• 関数 Λ[S] を導入し、被覆群におけるカステルマン＝シャリカの公式を用いて、トーラス元におけるホイットカー関数の値を計算する。
• 逆定理の枠組みを用い、グローバル積分と自動形式 L 関数との関係を関係づけ、関手的持ち上げの確立を目的とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真の無限小的正則表現の被覆群におけるテンソル積 L 関数を計算するため、二重化法をどのように高ランクに拡張できるか。
• RQ2 Sp_{2n} の被覆上の π と GL_k の被覆上の τ に対して、L(s, π × τ) のグローバル積分の構造はどのようなものか。
• RQ3 非分岐場における局所積分の明示的形は何か。また、グローバル設定においてどのように因子分解されるか。
• RQ4 この積分表現を用いて、被覆群表現の局所 γ-、L-、ϵ-因子を定義できるか。
• RQ5 この構成は、逆定理を用いて、被覆群から一般線型群への一般化されたシャムーラ型持ち上げを支援するか。

主な発見

• グローバル積分は、非分岐場における局所積分の無限積と、分岐またはアーチメデス的場における有限積分に分解される基本的恒等式を満たす。
• 非分岐データにおける局所積分は、被覆群におけるカステルマン＝シャリカの公式を用いて明示的に計算され、サタケパラメータとガウス和を含む表現が得られる。
• 非分岐 L 因子 Lϑπ,ϑτ(s, π × τ) は、標準的なオイラー積形と一致し、表現のサタケパラメータによって決定される係数を持つことが示された。
• 本構成は、真の被覆群表現の局所因子（γ, L, ϵ）を定義するための枠組みを提供しており、後続の研究で発展させた。
• 本手法は、被覆群から一般線型群への関手的持ち上げを支援するものであり、m=2 の場合にトレース公式に依存せずシャムーラ持ち上げを独立に回復できる可能性を秘めている。
• （rk,c）関数とホイットカー模型の使用により、被覆群設定におけるフーリエ係数と関数方程式の体系的な計算が可能になった。