[論文レビュー] Doubling constructions: Global functoriality for non-generic cuspidal representations

Yuanqing Cai, Solomon Friedberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 135被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、一般化された二重化法を用いて、分岐古典的群および一般スピン群の非一般型の極小離散的自動形式的表現に対するグローバル関手的性質を確立し、非常に分岐度の高いヘッケ特徴標を用いた完備化L関数が正則であることを証明する。これと対蹠的定理を組み合わせることで、トレース公式に依存しない弱関手的転送からGLNへの新しい証明が得られ、従来の一般型に限らない結果を拡張する。

ABSTRACT

We study the generalized doubling method for pairs of representations of $G imes GL_k$ where $G$ is a symplectic group, split special orthogonal group or split general spin group. We analyze the poles of the local integrals, and prove that the global completed $L$-function with a cuspidal representation of $GL_k$ twisted by a highly ramified Hecke character is entire. We obtain a new proof of the weak functorial transfer of cuspidal automorphic representations of $G$ to the natural general linear group, which is independent of the trace formula and its prerequisites, by combining our results with the Converse Theorem.

研究の動機と目的

• 分岐シンプレクティック群、特殊直交群、一般スピン群の非一般型極小離散的自動形式的表現に対するグローバル関手的性質を確立すること。
• GLkの極小離散的表現を非常に分岐度の高いヘッケ特徴標でねじ込んだ完備化L関数が正則であることを証明すること。
• 古典群および一般スピン群からGLNへの弱関手的転送に対する、トレース公式に依存しない新しい証明を提供すること。
• ねじれたγ因子を用いて、G(Fν)の局所表現からGLN(Fν)への「粗い転送」を定義・分析すること。
• 任意の弱関手的転送の超臨界的成分が、すべての有限位相での局所表現によって一意に決定されることを示すこと。

提案手法

• 一般化された二重化法を用いて、G(A) × GLk(A) 上の自動形式的関数に関連するグローバル積分を構成すること。
• ねじれたγ因子を用いて局所積分の極を分析し、グローバルL関数のメロモルフィックな拡張を確立すること。
• 臨界帯に極が存在しないことを示すことにより、非常に分岐度の高いヘッケ特徴標を用いた完備化L関数が正則であることを証明すること。
• 対蹠的定理を適用し、L関数の解析的性質と特定の積分の非消滅性からグローバル関手的性質を導出すること。
• アーキメデス的および非アーキメデス的体上で連続性と絶対収束の議論を用いて、積分の解析的性質を確立すること。
• ねじれたγ因子による局所レベルでの「粗い転送」を定義し、グローバルな弱関手的性質と局所表現論を結びつけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トレース公式に依存せずに、分岐古典的群および一般スピン群の非一般型極小離散的自動形式的表現からGLNへの弱関手的転送を確立できるか？
• RQ2 極小離散的表現をGLkが非常に分岐度の高いヘッケ特徴標でねじ込んだとき、完備化L関数の解析的性質はいかなるものか？
• RQ3 ねじれたγ因子を用いて定義された局所的粗い転送は、グローバルな弱関手的転送とどのように関係するか？
• RQ4 グローバルな弱関手的転送の超臨界的成分は、ほとんどすべての有限位相での局所表現によって一意に決定されるか？
• RQ5 対蹠的定理は、二重化法とL関数の解析的性質を用いて、グローバル関手的性質を証明するために適用可能か？

主な発見

• τが非常に分岐度の高いヘッケ特徴標でねじ込んだGLkの極小離散的表現であるとき、完備化L関数L(s, π × τ)は正則である。
• G(A) から GLN(A) へのグローバルな弱関手的転送が存在し、トレース公式およびその前提条件に依存しない。
• ねじれたγ因子を用いて、G(Fν) の局所表現から GLN(Fν) への「粗い転送」が定義され、常に存在する。
• 任意のπの弱関手的転送Πについて、すべての有限位相νにおけるΠνの超臨界的成分はπνによって一意に決定される。
• ある行列係数ωとWhittaker汎関数Wの選び方によって、積分Z(s, ω, W)/L(s, π × τ)は非ゼロ（可能性として極をもつ）であり、対蹠的定理の非消滅性を保証する。
• この手法により、グローバルL関数がメロモルフィックに拡張され、対蹠的定理によって関手的性質を示すのに十分な解析的性質を有することが示された。