[論文レビュー] Doubly Nonnegative Tensors, Completely Positive Tensors and Applications

Ziyan Luo, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 52被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非負の成分とH固有値を備えた二重非負のテンソルを導入し、任意の次数の高次テンソルへ行列の概念を拡張する。任意の次数の正のカウチーテンソルが完全正であることを確立し、優位性の性質と変更されたファン-周アルゴリズムを用いて完全正性の検証を高速化する前処理スキームを提案する。応用はテンソル補完問題に向けられる。

ABSTRACT

The concept of double nonnegativity of matrices is generalized to doubly nonnegative tensors by means of the nonnegativity of all entries and $H$-eigenvalues. This generalization is defined for tensors of any order (even or odd), while it reduces to the class of nonnegative positive semidefinite tensors in the even order case. We show that many nonnegative structured tensors, which are positive semidefinite in the even order case, are indeed doubly nonnegative as well in the odd order case. As an important subclass of doubly nonnegative tensors, the completely positive tensors are further studied. By using dominance properties for completely positive tensors, we can easily exclude some doubly nonnegative tensors, such as the signless Laplacian tensor of a nonempty $m$-uniform hypergraph with $m\geq 3$, from the class of completely positive tensors. Properties of the doubly nonnegative tensor cone and the completely positive tensor cone are established. Their relation and difference are discussed. These show us a different phenomenon comparing to the matrix case. By employing the proposed properties, more subclasses of these two types of tensors are identified. Particularly, all positive Cauchy tensors with any order are shown to be completely positive. This gives an easily constructible subclass of completely positive tensors, which is significant for the study of completely positive tensor decomposition. A preprocessed Fan-Zhou algorithm is proposed which can efficiently verify the complete positivity of nonnegative symmetric tensors. We also give the solution analysis of tensor complementarity problems with the strongly doubly nonnegative tensor structure.

研究の動機と目的

• 正定性が定義されない奇数次の場合を含め、二重非負行列の概念を高次テンソルへ拡張すること。
• 完全正テンソルの部分集合を特定・特徴づけ、特に容易に検証可能なものを同定すること。
• ファン-周アルゴリズムを適用する前段階で、完全正でないテンソルを効率的に除外する前処理スキームの開発。
• 強く二重非負テンソルの制約下でのテンソル補完問題の解構造を分析すること。
• 奇数次テンソルに特に適した、理論的かつ計算的枠組みを提供し、テンソル解析と最適化を補完すること。

提案手法

• 非負の成分と非負のH固有値を備えた対称テンソルとして二重非負テンソルを定義し、正のH固有値を有するものを強く二重非負テンソルと定義する。
• 優位性の性質を用いて、m ≥ 3 であるm一様ハイパーグラフの符号なしラプラシアンテンソルなど、特定の構造的テンソルが完全正でないことを除外する。
• 優位性のチェックと要素調整を活用した前処理を施したファン-周アルゴリズムを提案し、完全正性の検証を高速化する。
• 非負の係数を用いた基底テンソルのランダムな線形結合により対称的非負テンソルを構築し、前処理の効率を評価する。
• 任意の次数（偶数または奇数）の正のカウチーテンソルが完全正であることを証明し、新たな十分条件を提供する。
• 強く二重非負テンソルが、非空かつコンパクトな解集合を持つことを示し、テンソル補完問題（TCP）を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正定性が定義されない奇数次テンソルへ、二重非負性の概念を意味的に拡張できるか？
• RQ2 偶数次では正定性を有すると知られている構造的テンソルのうち、奇数次においても二重非負のままであるものは何か？
• RQ3 優位性に基づく性質が、完全正でないテンソルを完全正テンソルのクラスから効率的に除外できるか？
• RQ4 奇数次例を含む、広範かつ容易に検証可能な完全正テンソルのクラスは存在するか？
• RQ5 テンソルが強く二重非負である場合、テンソル補完問題の解行動はいかなるものか？

主な発見

• 任意の次数（偶数または奇数）の正のカウチーテンソルは完全正であり、容易に構築可能な完全正テンソルの新たな部分集合を提供する。
• m ≥ 3 である非空なm一様ハイパーグラフの符号なしラプラシアンテンソルは、二重非負であるが完全正ではない。
• 優位性の性質と要素調整に基づく前処理スキームにより、ランダムに生成された対称的非負テンソルの最大99.5％が、完全検証の前段階で除外される。
• m ≥ 5 および n ≥ 3 の場合、前処理の効率が著しく低下し、m=12, n=4 の場合の除外率は最低22.4％にまで低下する。これは高次元の複雑性を示唆する。
• 提案された前処理付きファン-周アルゴリズムにより、完全正性の検証が著しく高速化され、完全正でないテンソルが早期にフィルタリングされる。
• 強く二重非負テンソルは、テンソル補完問題が非空かつコンパクトな解集合を持つことを保証し、良好な理論的性質を有する。