[論文レビュー] On $Q$-Tensors

Zheng‐Hai Huang, Yun-Yang Suo+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 22被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、$Q$-行列に関する2つの古典的結果を、強$P_0$-テンソルまたは非負テンソルのクラスにおいて、$R_0$-テンソル、$R$-テンソル、$ER$-テンソル、$Q$-テンソルの同値性を証明することによって、テンソル空間へと拡張する。さらに、3つのよく知られた$Q$-行列の定理がテンソルへ一般化されないことを示し、ソンとチの最近の質問に対する否定的解答を提示する。

ABSTRACT

One of the central problems in the theory of linear complementarity problems (LCPs) is to study the class of $Q$-matrices since it characterizes the solvability of LCP. Recently, the concept of $Q$-matrix has been extended to the case of tensor, called $Q$-tensor, which characterizes the solvability of the corresponding tensor complementarity problem -- a generalization of LCP; and some basic results related to $Q$-tensors have been obtained in the literature. In this paper, we extend two famous results related to $Q$-matrices to the tensor space, i.e., we show that within the class of strong $P_0$-tensors or nonnegative tensors, four classes of tensors, i.e., $R_0$-tensors, $R$-tensors, $ER$-tensors and $Q$-tensors, are all equivalent. We also construct several examples to show that three famous results related to $Q$-matrices cannot be extended to the tensor space; and one of which gives a negative answer to a question raised recently by Song and Qi.

研究の動機と目的

• $Q$-行列に関する2つの基本的結果を、特に$Q$-テンソルおよび関連クラスに焦点を当ててテンソル設定へ拡張すること。
• $Q$-行列に関する古典的定理がテンソル空間へ一般化可能かどうか、特に解の存在可能性およびテンソルクラスの同値性に関して調査すること。
• 特定の$Q$-行列の性質が$Q$-テンソルに対して成り立たないことを示す反例を提供すること。
• ソンとチが提起した、$Q$-行列の結果がテンソルへ一般化可能かどうかという最近の未解決問題を解消すること。

提案手法

• 著者らは、強$P_0$-テンソルまたは非負テンソルの部分クラスにおいて、$Q$-テンソルおよび関連クラス（$R_0$-テンソル、$R$-テンソル、$ER$-テンソル）の構造を分析する。
• 構造的および位相的議論を用いて、テンソル空間内での制約条件下で$R_0$-テンソル、$R$-テンソル、$ER$-テンソル、$Q$-テンソルの同値性を確立する。
• 解の存在可能性および連続性の性質に特に注目し、3つの古典的$Q$-行列定理がテンソルの場合に一般化されないことを示す反例を構成する。
• 非負テンソルの性質および$P_0$-テンソルの定義を活用し、一般化された補完フレームワークを用いて証明技術を展開する。
• ソンとチの最近の予想を厳密に検討し、明示的な反例構成により否定的解決に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $Q$-行列において知られている$R_0$-テンソル、$R$-テンソル、$ER$-テンソル、$Q$-テンソルの同値性は、テンソル設定へ拡張可能か？
• RQ2 解の存在可能性および連続性に関連する$Q$-行列を特徴付ける古典的定理は、$Q$-テンソルに対しても成り立つか？
• RQ3 ソンとチが提唱した、$Q$-行列の結果がテンソルへ一般化可能であるという予想は、テンソル補完問題の枠組みにおいて有効か？
• RQ4 どのようなテンソルの構造的性質が、特定の$Q$-行列定理がテンソル空間へ一般化されないのを妨げているか？

主な発見

• 強$P_0$-テンソルまたは非負テンソルのクラス内では、$R_0$-テンソル、$R$-テンソル、$ER$-テンソル、$Q$-テンソルはすべて同値である。
• これらの4つのテンソルクラスの同値性は、テンソル空間における構造的分析および位相的性質によって確立される。
• 3つの古典的$Q$-行列理論の定理は、構成された反例によってテンソル設定へ一般化されないことが示された。
• 反例の一つは、ソンとチが提起した、$Q$-行列の結果がテンソルへ一般化可能かどうかという最近の未解決問題に対する否定的解答を提供する。
• 結果は、解の存在可能性および連続性の面で、行列とテンソルの補完問題の間の根本的な相違を浮き彫りにする。