[論文レビュー] Drinfeld modular forms of arbitrary rank, Part III: Examples

Dirk Basson, Florian Breuer+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、任意のランクにおけるドリンフェルトモジュラー形式の明示的例を構成し、アイゼンスタイン級数、係数形式、判別形式に注目して研究する。$ A = \mathbb{F}_q[t] $ の場合、$ \mathrm{GL}_r(A) $ および $ \mathrm{SL}_r(A) $ のすべてのモジュラー形式が係数形式および判別形式によって生成されることを証明し、さまざまなレベルおよび重みに対するモジュラー形式空間の正確な次元公式を提示する。

ABSTRACT

This is the third part of a series of articles providing a foundation for the theory of Drinfeld modular forms of arbitrary rank. In the present article we construct and study some examples of Drinfeld modular forms. In particular we define Eisenstein series, as well as the action of Hecke operators upon them, coefficient forms and discriminant forms. In the special case A=F_q[t] we show that all modular forms for GL_r(Γ(t)) are generated by certain weight one Eisenstein series, and all modular forms for GL_r(A) and SL_r(A) are generated by certain coefficient forms and discriminant forms. We also compute the dimensions of the spaces of such modular forms.

研究の動機と目的

• 任意のランクにおけるドリンフェルトモジュラー形式の明示的族、特にアイゼンスタイン級数、係数形式、判別形式を構成・分析すること。
• 特別な場合 $ A = \mathbb{F}_q[t] $ における $ \mathrm{GL}_r(A) $ および $ \mathrm{SL}_r(A) $ のモジュラー形式の環の構造を特定すること。
• さまざまな合同部分群、特に $ \Gamma(t) $、$ \Gamma_1(t) $、および $ \mathrm{GL}_r(A) $ のモジュラー形式空間の次元を計算すること。
• cusp形式 $ \mathrm{GL}_r(A) $ が単一の判別形式 $ \Delta_t^L $ によって生成されることを確立し、ヘッケ作用素における固有形式の性質を証明すること。

提案手法

• 合同部分群 $ \Gamma_{v+L} $ の重み 1 のアイゼンスタイン級数 $ E_{1,v+L} $ を構成し、その尖点における零点の重複度を計算する。
• 代表元のコセットを用いて、その位の性質を活用して係数形式および判別形式 $ \delta_t^L $ を積として定義する。
• $ u $-展開技法を用いてランク $ r $ のモジュラー形式をランク $ r-1 $ のものと関連づけ、再帰的解析を可能にする。
• アイゼンスタイン級数におけるヘッケ作用素の作用を用いて、固有形式の性質およびフーリエ係数の整数性を導出する。
• 結果 [PS14] および [Na00] を応用し、$ \{q-1, q^2-1, \dots, q^r-1\} $ の部分からなる分割関数を用いて次元公式を導出する。
• 群論的不変量および合同部分群論を用いて $ \Gamma(t) $、$ \Gamma_1(t) $、$ \mathrm{GL}_r(A) $ を関連付け、インデックス関係を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \mathrm{GL}_r(\mathbb{F}_q[t]) $ および $ \mathrm{SL}_r(\mathbb{F}_q[t]) $ のモジュラー形式の環の構造は、生成元を用いてどのように記述できるか？
• RQ2 重み $ k $ およびレベル $ \Gamma(t) $、$ \Gamma_1(t) $、$ \mathrm{GL}_r(A) $ のモジュラー形式空間の次元は、$ k $ と $ r $ に依存してどのように変化するか？
• RQ3 判別形式 $ \Delta_t^L $ はすべてのヘッケ作用素に対して固有形式であるか？また、cusp形式空間の生成に果たす役割は何か？
• RQ4 $ u $-展開とその係数の再帰的構造との間には、どのような明確な関係があるか？
• RQ5 $ \mathrm{GL}_r(A) $ のモジュラー形式の環はコhen＝マカウレイ的であるか？この性質は他の合同部分群に対しても拡張可能か？

主な発見

• $ A = \mathbb{F}_q[t] $ の場合、$ \mathrm{GL}_r(A) $ のすべてのモジュラー形式は特定の係数形式および判別形式 $ \Delta_t^L $ によって生成され、$ \mathrm{GL}_r(\Gamma(t)) $ のすべてのモジュラー形式は重み 1 のアイゼンスタイン級数によって生成される。
• $ \mathcal{S}_k(\mathrm{GL}_r(A)) $ は $ k < q^r - 1 $ のときゼロ空間であり、$ k = q^r - 1 $ のとき一様次元で基底 $ \Delta_t^L $ を持つ。
• $ \mathcal{M}_k(\Gamma(t)) $ の次元は $ \sum_{i_1,\dots,i_{r-1} \in \{0,1\}} q^{\sum \nu \cdot i_\nu} \binom{k}{\sum i_\nu} $ で与えられ、重み付き分割を数える。
• $ \mathcal{M}_k(\mathrm{GL}_r(A)) $ の次元は、$ \{q-1, q^2-1, \dots, q^r-1\} $ の部分からなる $ k $ の分割の数に等しく、$ q-1 \mid k $ のとき漸近的成長は $ \frac{1}{\prod_{i=2}^r (q^i - 1)} \cdot \frac{k^{r-1}}{(r-1)!} $ である。
• $ \mathcal{M}_k(\Gamma_1(t)) $ の次元は $ \binom{k-1}{r-1} $ であり、これは $ k $ を $ r $ 個の正の整数に分割する方法の数に一致する。
• $ \Delta_t^L $ はすべての二重コセット $ \mathrm{GL}_r(A) \delta \mathrm{GL}_r(A) $ に関連するヘッケ作用素に対して固有形式であり、$ \mathcal{M}_*(\mathrm{GL}_r(A)) $ のcusp形式のイデアルを生成する。