[論文レビュー] Duality of non-exposed faces

Stephan Weis|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2011

Point processes and geometric inequalities参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、正規錐と面および接触錐の間のガロア接続を用いて、凸体の非露出面に対する双対性理論を確立する。非露出面の共役面が特異的（不完全な正規錐を有する）であることを証明し、平面凸体における混合角および自由角を用いてそれらを特徴づけ、双対凸体対における非露出点の完全な双対性枠組みを提供する。

ABSTRACT

Given any polar pair of convex bodies we study its conjugate face maps and we characterize conjugate faces of non-exposed faces in terms of normal cones. The analysis is carried out using the positive hull operator which defines lattice isomorphisms linking three Galois connections. One of them assigns conjugate faces between the convex bodies. The second and third Galois connection is defined between the touching cones and the faces of each convex body separately. While the former is well-known, we introduce the latter in this article for any convex set in any finite dimension. We demonstrate our results about conjugate faces with planar convex bodies and planar self-dual convex bodies, for which we also include constructions.

研究の動機と目的

• 正規錐を用いて、双対凸体対における非露出面の双対性を特徴づけること。
• 接触錐と凸集合の面の間のガロア接続を確立し、一般の有限次元凸集合に対する新しい双対性枠組みを導入すること。
• 非露出面の共役面が特異的であることを示すこと、すなわち、正規錐の次元が2以上であること。
• 対称的接合を用いて、非露出点をもたない平面自己双対凸体を構成すること。
• 理論を量子情報および凸代数幾何学に応用し、情報量の不連続性および行列式多様体の研究に役立てる。

提案手法

• 正の包あらわしを用いて、三つのガロア接続（一つは双対凸体間、二つは各凸体の接触錐と面の間）を結ぶラティス同型を定義する。
• 任意の有限次元で有効な、凸集合の接触錐と面の間の新しいガロア接続を導入する。
• 非露出面に共役面写像を適用し、それが双対体における混合角または自由角に対応することを示す。
• 支持関数および径向関数を用いて、単位球面上のパrametrizationを通じて双対凸体の境界を記述する。
• 文献[Ro]の補題16.5.2を用いて凸包の双対を計算し、双対体および自己双対体の明示的構成を可能にする。
• Carathéodoryの定理を適用して、単位円周上での稠密な集合の凸包が非露出点をもたず、コンパクトであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸体の非露出面は、その極双対体の面と、共役面写像によってどのように関係しているか？
• RQ2 双対凸体対における非露出面の共役面は、どのような幾何学的および位相的性質によって特徴づけられるか？
• RQ3 非露出点をもたない平面自己双対凸体は体系的に構成可能か？ その存在を保証する条件は何か？
• RQ4 不完全な正規錐は特異面とどのように関係し、平面凸体においてどのように記述できるか？
• RQ5 混合角および自由角は、2次元凸集合における非露出点の双対性において果たす役割は何か？

主な発見

• 共役面写像は、平面凸体の非露出点の集合から、その極双対体の混合角および自由角の集合への全射に制限される。
• 非露出面と共役する面は特異的であり、正規錐の次元が2以上であることを意味する。このような面は、不完全な正規錐によって完全に特徴づけられる。
• 非露出点をもたない平面凸体のすべての角は多面体的であり、双対凸体を直線に沿って対称的に接合することで構成可能である。
• 平面凸体において、不完全な正規錐は混合角または自由角に対応し、境界が接線的および鋭角的挙動を併せ持つ点として幾何的に記述できる。
• 非露出点をもたない自己双対凸体は存在し、元の凸体が対称軸上に滑らかな極値点をもつ限り、その凸体とその双対体を直線を境に結合することで構成可能である。
• 例5.5では、単位円周上の稠密かつ対称な部分集合の凸包をとることで、無限個の角（すべて多面体的）をもつ自己双対凸体を構成し、非露出点が存在しないことを保証している。