[論文レビュー] Duality theorems for étale gerbes on orbifolds

Xiang Tang, Hsian‐Hua Tseng|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 38被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、軌道束 $\mathcal{B}$ 上の $G$-gerbe $\mathcal{Y}$ と、平坦な $U(1)$-gerbe $c$ を備えた双対非連結軌道束 $\widehat{\mathcal{Y}}$ の間で、数学的な双対性を確立する。非可換幾何学およびシンプレクティックトポロジーの技術を用いて、$\mathcal{Y}$ 上の層の圏が $\widehat{\mathcal{Y}}$ 上の $c$-twisted 層の圏と同値であり、さらに $\mathcal{Y}$ の Chen-Ruan 軌道束コホモロジーが、$\widehat{\mathcal{Y}}$ の $c$-twisted 軌道束コホモロジーと、順序付き代数として同型であることを証明する。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite group and $\Y$ a $G$-gerbe over an orbifold $\B$. A disconnected orbifold $\hat{\Y}$ and a flat U(1)-gerbe $c$ on $\hat{\Y}$ is canonically constructed from $\Y$. Motivated by a proposal in physics, we study a mathematical duality between the geometry of the $G$-gerbe $\Y$ and the geometry of $\hat{\Y}$ {\em twisted by} $c$. We prove several results verifying this duality in the contexts of noncommutative geometry and symplectic topology. In particular, we prove that the category of sheaves on $\Y$ is equivalent to the category of $c$-twisted sheaves on $\hat{\Y}$. When $\Y$ is symplectic, we show, by a combination of techniques from noncommutative geometry and symplectic topology, that the Chen-Ruan orbifold cohomology of $\Y$ is isomorphic to the $c$-twisted orbifold cohomology of $\hat{\Y}$ as graded algebras.

研究の動機と目的

• 軌道束 $\mathcal{B}$ 上の $G$-gerbe $\mathcal{Y}$ と、平坦な $U(1)$-gerbe $c$ を持つ双対非連結軌道束 $\widehat{\mathcal{Y}}$ の間で、 conformal field theory の双対性に関する物理的提案を動機として、数学的双対性を確立すること。
• $\mathcal{Y}$ 上の層の圏が、$\widehat{\mathcal{Y}}$ 上の $c$-twisted 層の圏と同値であることを証明し、非可換幾何学および群oids代数の結果を拡張すること。
• $\mathcal{Y}$ がシンプレクティックであるとき、$\mathcal{Y}$ の Chen-Ruan 軌道束コホモロジーが、$\widehat{\mathcal{Y}}$ の $c$-twisted 軌道束コホモロジーと、順序付き代数として同型であることを示すこと。
• 双対性を代数的幾何の設定に一般化し、Deligne-Mumford スタック上の（準）連接層に対しても同値性が成り立つことを示すこと。
• 双対性がテンソル積とどのように相性が良いかを明確化すること、特に $\mathcal{B}$ の粗いモジュライ空間から引き戻された層に関して。

提案手法

• 有限群 $G$ の既約ユニタリ表現の集合 $\widehat{G}$ を用いて、双対軌道束 $\widehat{\mathcal{Y}}$ を構成し、自然な平坦な $U(1)$-gerbe $c$ を備える。
• Mackey の理論とMorita同値を用いて、$M$ 上の $G$-層の圏を $M \times \widehat{G}$ 上の $\widehat{G}$-可換層の圏と関連づけ、有限群の表現論を活用する。
• 命題 4.5 からのコycle $c$ を用いて、$M \times \widehat{G}$ 上に $c$-twisted $\widehat{\mathfrak{Q}}$-層構造を定義する。この定義は、写像 $j: \mathfrak{H} \to \mathfrak{Q}$ を通じて拡張される。
• $\mathcal{V}_G$ と呼ばれる標準的層を用いて、$M$ 上の $\mathfrak{H}$-層と $M \times \widehat{G}$ 上の $c$-twisted $\widehat{\mathfrak{Q}}$-層との間の同値関係を確立する。この層は表現データを符号化している。
• Hochschild複体間の擬同型を用いて、$\mathcal{Y}$ の群oids代数の Hochschild コホモロジーが、$\widehat{\mathcal{Y}}$ の双対群oids代数のそれと同型であることを証明する。
• Chen-Ruan コホモロジーへの応用として、$\widehat{\mathcal{Y}}$ の $c$-twist 付きコホモロジーリングが、$\mathcal{Y}$ の Chen-Ruan コホモロジーリングと一致することを、シンプレクティックおよび非可換幾何的技法を用いて示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$-gerbe $\mathcal{Y}$ と、平坦な $U(1)$-gerbe $c$ を持つ双対非連結軌道束 $\widehat{\mathcal{Y}}$ の間で、自然な双対性が存在するか？
• RQ2 $\mathcal{Y}$ 上の層の圏は、$\widehat{\mathcal{Y}}$ 上の $c$-twisted 層の圏に対応するか？
• RQ3 $\mathcal{Y}$ の Chen-Ruan 軌道束コホモロジーは、$\widehat{\mathcal{Y}}$ の $c$-twisted 軌道束コホモロジーと、順序付き代数として同型であるか？
• RQ4 双対性は、特に $\mathcal{B}$ の粗いモジュライ空間から引き戻された層に関して、テンソル積とどのように作用するか？
• RQ5 双対性は、Deligne-Mumford スタックおよび（準）連接層を含む代数的幾何の設定に拡張可能か？

主な発見

• 定理 7.11 により、$G$-gerbe $\mathcal{Y}$ 上の層の圏は、双対軌道束 $\widehat{\mathcal{Y}}$ 上の $c$-twisted 層の圏と同値である。
• $\mathcal{Y}$ がシンプレクティックであるとき、$\mathcal{Y}$ の Chen-Ruan 軌道束コホモロジーは、$\widehat{\mathcal{Y}}$ の $c$-twisted 軌道束コホモロジーと、順序付き代数として同型である。
• 双対性は代数的幾何の設定に拡張可能である：$\mathcal{Y}$ 上の（準）連接層のアーベル圏は、$\widehat{\mathcal{Y}}$ 上の $c$-twisted（準）連接層のアーベル圏と同値である。
• 層の圏の同値性は一般にはテンソル積構造を保存しないが、$\mathcal{B}$ の粗いモジュライ空間から引き戻された層に関しては、テンソル積と整合性がある。
• Hochschild複体間の擬同型を用いて、$\mathcal{Y}$ の群oids代数の Hochschild コホモロジーは、$\widehat{\mathcal{Y}}$ の双対群oids代数のそれと同型である。
• 双対性は、$M \times \widehat{G}$ 上の標準的層 $\mathcal{V}_G$ を通じて実現され、この層を用いたテンソル積により同値関係が誘導される。これは、gerbe および twisted 層への Mackey の理論の一般化である。